Номер 20.34, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.34, страница 173.
№20.34 (с. 173)
Условие. №20.34 (с. 173)
скриншот условия
 
                                20.34. Для каждого значения параметра a решите уравнение:
1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0;$
2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0;$
3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0;$
4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0.$
Решение. №20.34 (с. 173)
1)
Дано уравнение $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$ при любом значении параметра $a$. Для его решения найдем дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (3a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + a) = (9a^2 + 6a + 1) - (8a^2 + 4a) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.
Поскольку дискриминант является полным квадратом, $D = (a + 1)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(3a + 1) \pm \sqrt{(a + 1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3a - 1 \pm (a + 1)}{2}$.
Вычислим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{-3a - 1 + (a + 1)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.
$x_2 = \frac{-3a - 1 - (a + 1)}{2} = \frac{-4a - 2}{2} = -2a - 1$.
Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = -a$, $x_2 = -2a - 1$.
2)
Дано уравнение $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$ при любом значении параметра $a$. Найдем его дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-(2a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a = (2a + 4)^2 - 32a = 4a^2 + 16a + 16 - 32a = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a^2 - 4a + 4) = (2(a - 2))^2$.
Поскольку $D = (2(a - 2))^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{(2a + 4) \pm \sqrt{(2(a - 2))^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a + 4 \pm 2(a - 2)}{2} = a + 2 \pm (a - 2)$.
Вычислим каждый корень отдельно:
$x_1 = (a + 2) + (a - 2) = 2a$.
$x_2 = (a + 2) - (a - 2) = a + 2 - a + 2 = 4$.
Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = 2a$, $x_2 = 4$.
3)
Дано уравнение $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$.
Это уравнение является квадратным только если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a^2 = 0 \implies a = 0$.
Подставив $a=0$ в исходное уравнение, получаем: $0 \cdot x^2 - 24 \cdot 0 \cdot x - 25 = 0$, что приводит к неверному равенству $-25 = 0$. Следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней.
Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
$a \ne 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-24a)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot (-25) = 576a^2 + 100a^2 = 676a^2 = (26a)^2$.
Поскольку $a \ne 0$, $D > 0$, и уравнение имеет два различных действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-(-24a) \pm \sqrt{(26a)^2}}{2a^2} = \frac{24a \pm 26a}{2a^2}$.
Вычислим каждый корень:
$x_1 = \frac{24a + 26a}{2a^2} = \frac{50a}{2a^2} = \frac{25}{a}$.
$x_2 = \frac{24a - 26a}{2a^2} = \frac{-2a}{2a^2} = -\frac{1}{a}$.
Ответ: если $a = 0$, корней нет; если $a \ne 0$, то $x_1 = \frac{25}{a}$, $x_2 = -\frac{1}{a}$.
4)
Дано уравнение $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0$.
Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$, поэтому рассмотрим два случая.
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$3(2a - 1) = 0 \implies a = \frac{1}{2}$.
При $a = \frac{1}{2}$ уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 - 2(\frac{1}{2} + 1)x + 1 = 0$, что равносильно $-3x + 1 = 0$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
$a \ne \frac{1}{2}$. Уравнение является квадратным. Для удобства вычислений найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$.
$D_1 = (-(a+1))^2 - 3(2a-1) \cdot 1 = a^2 + 2a + 1 - 6a + 3 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.
Поскольку $D_1 = (a-2)^2 \ge 0$, действительные корни существуют при любом $a \ne \frac{1}{2}$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{a+1 \pm \sqrt{(a-2)^2}}{3(2a-1)} = \frac{a+1 \pm (a-2)}{3(2a-1)}$.
Вычислим каждый корень:
$x_1 = \frac{a+1 + (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{2a-1}{3(2a-1)} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{a+1 - (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{3}{3(2a-1)} = \frac{1}{2a-1}$.
Если $D_1 = 0$, то есть $a=2$, корни совпадают: $x_1 = x_2 = \frac{1}{3}$.
Если $D_1 > 0$, то есть $a \ne 2$ (и $a \ne \frac{1}{2}$), то корни различны: $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2a-1}$.
Ответ: если $a = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{1}{3}$; если $a = 2$, то $x = \frac{1}{3}$; если $a \ne \frac{1}{2}$ и $a \ne 2$, то $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{1}{2a-1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 20.34 расположенного на странице 173 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.34 (с. 173), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    