Номер 20.34, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.34, страница 173.

Условие.

20.34. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0;$

2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0;$

3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0;$

4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0.$

Решение.

1)

Дано уравнение $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$ при любом значении параметра $a$. Для его решения найдем дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (3a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + a) = (9a^2 + 6a + 1) - (8a^2 + 4a) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Поскольку дискриминант является полным квадратом, $D = (a + 1)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(3a + 1) \pm \sqrt{(a + 1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3a - 1 \pm (a + 1)}{2}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-3a - 1 + (a + 1)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

$x_2 = \frac{-3a - 1 - (a + 1)}{2} = \frac{-4a - 2}{2} = -2a - 1$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = -a$, $x_2 = -2a - 1$.

2)

Дано уравнение $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$ при любом значении параметра $a$. Найдем его дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-(2a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a = (2a + 4)^2 - 32a = 4a^2 + 16a + 16 - 32a = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a^2 - 4a + 4) = (2(a - 2))^2$.

Поскольку $D = (2(a - 2))^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{(2a + 4) \pm \sqrt{(2(a - 2))^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a + 4 \pm 2(a - 2)}{2} = a + 2 \pm (a - 2)$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = (a + 2) + (a - 2) = 2a$.

$x_2 = (a + 2) - (a - 2) = a + 2 - a + 2 = 4$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = 2a$, $x_2 = 4$.

3)

Дано уравнение $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$.

Это уравнение является квадратным только если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a^2 = 0 \implies a = 0$.

Подставив $a=0$ в исходное уравнение, получаем: $0 \cdot x^2 - 24 \cdot 0 \cdot x - 25 = 0$, что приводит к неверному равенству $-25 = 0$. Следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$a \ne 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-24a)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot (-25) = 576a^2 + 100a^2 = 676a^2 = (26a)^2$.

Поскольку $a \ne 0$, $D > 0$, и уравнение имеет два различных действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-(-24a) \pm \sqrt{(26a)^2}}{2a^2} = \frac{24a \pm 26a}{2a^2}$.

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{24a + 26a}{2a^2} = \frac{50a}{2a^2} = \frac{25}{a}$.

$x_2 = \frac{24a - 26a}{2a^2} = \frac{-2a}{2a^2} = -\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a = 0$, корней нет; если $a \ne 0$, то $x_1 = \frac{25}{a}$, $x_2 = -\frac{1}{a}$.

4)

Дано уравнение $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0$.

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$3(2a - 1) = 0 \implies a = \frac{1}{2}$.

При $a = \frac{1}{2}$ уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 - 2(\frac{1}{2} + 1)x + 1 = 0$, что равносильно $-3x + 1 = 0$, откуда $x = \frac{1}{3}$.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$a \ne \frac{1}{2}$. Уравнение является квадратным. Для удобства вычислений найдем дискриминант, деленный на 4: $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$.

$D_1 = (-(a+1))^2 - 3(2a-1) \cdot 1 = a^2 + 2a + 1 - 6a + 3 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.

Поскольку $D_1 = (a-2)^2 \ge 0$, действительные корни существуют при любом $a \ne \frac{1}{2}$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D_1}}{a}$:

$x_{1,2} = \frac{a+1 \pm \sqrt{(a-2)^2}}{3(2a-1)} = \frac{a+1 \pm (a-2)}{3(2a-1)}$.

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{a+1 + (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{2a-1}{3(2a-1)} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{a+1 - (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{3}{3(2a-1)} = \frac{1}{2a-1}$.

Если $D_1 = 0$, то есть $a=2$, корни совпадают: $x_1 = x_2 = \frac{1}{3}$.

Если $D_1 > 0$, то есть $a \ne 2$ (и $a \ne \frac{1}{2}$), то корни различны: $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2a-1}$.

Ответ: если $a = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{1}{3}$; если $a = 2$, то $x = \frac{1}{3}$; если $a \ne \frac{1}{2}$ и $a \ne 2$, то $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{1}{2a-1}$.