Номер 20.29, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.29, страница 173.

Условие.

20.29. Докажите, что при любом значении параметра $m$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$;

2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$.

Решение.

1) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$ не имеет корней, необходимо показать, что его дискриминант отрицателен при любом значении параметра $m$.

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=m$, $c=m^2+1$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты в формулу:

$D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 1) = m^2 - 4m^2 - 4 = -3m^2 - 4$.

Теперь проанализируем полученное выражение для дискриминанта. Выражение $m^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $m^2 \ge 0$ для любого $m$.

Следовательно, $-3m^2$ всегда неположительно: $-3m^2 \le 0$.

Если к неположительному числу прибавить отрицательное число $-4$, результат всегда будет отрицательным:

$D = -3m^2 - 4 \le 0 - 4 = -4$.

Так как $D \le -4$, то дискриминант всегда отрицателен ($D < 0$) при любом значении $m$. Это означает, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим уравнение $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$. Аналогично предыдущему пункту, докажем, что его дискриминант всегда отрицателен.

Коэффициенты этого квадратного уравнения: $a=1$, $b=-2m$, $c=2m^2+9$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m^2 + 9) = 4m^2 - 4(2m^2 + 9) = 4m^2 - 8m^2 - 36 = -4m^2 - 36$.

Исследуем знак дискриминанта. Нам известно, что $m^2 \ge 0$ для любого действительного $m$.

Тогда $-4m^2 \le 0$.

Следовательно, $D = -4m^2 - 36 \le 0 - 36 = -36$.

Так как $D \le -36$, дискриминант всегда отрицателен ($D < 0$) при любом значении $m$. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Доказано.