Номер 20.30, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.30, страница 173.

Условие.

20.30. Докажите, что при любом значении параметра $b$ уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ имеет два корня.

Решение.

Чтобы доказать, что данное уравнение имеет два корня при любом значении параметра b, необходимо проанализировать его дискриминант. Уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + kx + c = 0$.

Количество корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта D. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $k=b$, $c=-7$.
Формула дискриминанта: $D = k^2 - 4ac$.
Подставим значения коэффициентов:
$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = b^2 + 28$

Теперь проанализируем полученное выражение $D = b^2 + 28$.
Выражение $b^2$ является квадратом действительного числа b, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $b^2 \ge 0$ при любом b.
Наименьшее значение, которое может принять $b^2$, равно 0 (когда $b=0$).
Следовательно, наименьшее значение дискриминанта равно $D_{min} = 0 + 28 = 28$.
Таким образом, при любом значении параметра b дискриминант $D = b^2 + 28$ будет всегда строго положительным, так как $D \ge 28 > 0$.

Поскольку дискриминант уравнения всегда положителен, уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня.
Ответ: Дискриминант уравнения равен $D = b^2 + 28$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного $b$, то $D = b^2 + 28 \ge 28 > 0$. Поскольку дискриминант всегда положителен, уравнение всегда имеет два корня.