Номер 20.37, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.37, страница 173.

Условие.

20.37. При каких значениях параметра $b$ имеет единственный корень уравнение:

1) $ (b+3)x^2 + (b+1)x - 2 = 0; $

2) $ (b-2)x^2 + (4-2b)x + 3 = 0? $

Решение.

1) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень, если оно является линейным (имеющим один корень) или если оно является квадратным с дискриминантом, равным нулю.

Случай 1. Уравнение является линейным. Это возможно, если коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$b + 3 = 0$

$b = -3$

При $b = -3$ уравнение принимает вид:

$(-3 + 3)x^2 + (-3 + 1)x - 2 = 0$

$0 \cdot x^2 - 2x - 2 = 0$

$-2x = 2$

$x = -1$

Уравнение имеет единственный корень, следовательно, значение $b = -3$ является решением.

Случай 2. Уравнение является квадратным и имеет единственный корень. Это возможно, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($b+3 \neq 0$), а дискриминант $D$ равен нулю.

$b \neq -3$

Вычислим дискриминант:

$D = (b + 1)^2 - 4(b + 3)(-2) = (b^2 + 2b + 1) + 8(b + 3) = b^2 + 2b + 1 + 8b + 24 = b^2 + 10b + 25$

Приравняем дискриминант к нулю:

$b^2 + 10b + 25 = 0$

$(b + 5)^2 = 0$

$b = -5$

Это значение удовлетворяет условию $b \neq -3$, следовательно, $b = -5$ также является решением.

Объединяя оба случая, получаем искомые значения параметра $b$.

Ответ: $b = -3$; $b = -5$.

2) $(b - 2)x^2 + (4 - 2b)x + 3 = 0$

Уравнение имеет единственный корень, если оно является линейным (имеющим один корень) или если оно является квадратным с дискриминантом, равным нулю.

Случай 1. Уравнение является линейным. Это возможно, если коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$b - 2 = 0$

$b = 2$

При $b = 2$ уравнение принимает вид:

$(2 - 2)x^2 + (4 - 2 \cdot 2)x + 3 = 0$

$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 3 = 0$

$3 = 0$

Получено неверное равенство. Это означает, что при $b = 2$ уравнение не имеет корней.

Случай 2. Уравнение является квадратным и имеет единственный корень. Это возможно, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($b-2 \neq 0$), а дискриминант $D$ равен нулю.

$b \neq 2$

Вычислим дискриминант:

$D = (4 - 2b)^2 - 4(b - 2)(3) = (2(2 - b))^2 - 12(b - 2) = 4(2 - b)^2 - 12(b - 2)$

Поскольку $(2 - b)^2 = (b - 2)^2$, получаем:

$D = 4(b - 2)^2 - 12(b - 2)$

Приравняем дискриминант к нулю:

$4(b - 2)^2 - 12(b - 2) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4(b - 2)$:

$4(b - 2)((b - 2) - 3) = 0$

$4(b - 2)(b - 5) = 0$

Отсюда $b - 2 = 0$ или $b - 5 = 0$. Получаем $b = 2$ или $b = 5$.

Согласно условию этого случая, $b \neq 2$. Поэтому значение $b=2$ исключаем.

Остается единственное решение $b=5$.

Ответ: $b = 5$.