Номер 21.1, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.1, страница 178.

Условие.

21.1. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 6x - 32 = 0;$

2) $x^2 - 10x + 4 = 0;$

3) $2x^2 - 6x + 3 = 0;$

4) $10x^2 + 42x + 25 = 0.$

Решение.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение вычисляются по формулам:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Перед применением теоремы убедимся, что уравнения имеют действительные корни, проверив, что их дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен.

1) $x^2 + 6x - 32 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -32$.
Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 36 + 128 = 164$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{6}{1} = -6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-32}{1} = -32$.
Ответ: сумма корней равна -6, произведение корней равно -32.

2) $x^2 - 10x + 4 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = 4$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 100 - 16 = 84$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-10}{1} = 10$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: сумма корней равна 10, произведение корней равно 4.

3) $2x^2 - 6x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a = 2$, $b = -6$, $c = 3$.
Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: сумма корней равна 3, произведение корней равно 1,5.

4) $10x^2 + 42x + 25 = 0$

Коэффициенты: $a = 10$, $b = 42$, $c = 25$.
Дискриминант $D = 42^2 - 4 \cdot 10 \cdot 25 = 1764 - 1000 = 764$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{42}{10} = -4.2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{25}{10} = 2.5$.
Ответ: сумма корней равна -4,2, произведение корней равно 2,5.