Номер 21.3, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.3, страница 178.

Условие.

21.3. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:

1) $x^2 - 8x + 12 = 0$ числа 2 и 6;

2) $x^2 + x - 56 = 0$ числа -7 и 8;

3) $x^2 - 13x + 42 = 0$ числа 5 и 8;

4) $x^2 - 20x - 99 = 0$ числа 9 и 11.

Решение.

Для решения этой задачи используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно этой теореме, для того чтобы числа $x_1$ и $x_2$ были корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, должны одновременно выполняться два условия:
1. Сумма чисел должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
2. Произведение чисел должно быть равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.
Проверим эти условия для каждого случая.

1) $x^2 - 8x + 12 = 0$ числа 2 и 6;
В этом уравнении коэффициенты $p = -8$ и $q = 12$.
Проверяем условия:
Сумма: $2 + 6 = 8$. По теореме Виета, сумма корней должна быть $-p = -(-8) = 8$. Условие выполняется.
Произведение: $2 \cdot 6 = 12$. По теореме Виета, произведение корней должно быть $q = 12$. Условие выполняется.
Так как оба условия выполняются, числа 2 и 6 являются корнями уравнения.
Ответ: да.

2) $x^2 + x - 56 = 0$ числа -7 и 8;
В этом уравнении коэффициенты $p = 1$ и $q = -56$.
Проверяем условия:
Сумма: $-7 + 8 = 1$. По теореме Виета, сумма корней должна быть $-p = -1$.
Условие для суммы не выполняется, так как $1 \ne -1$.
Следовательно, числа -7 и 8 не являются корнями уравнения.
Ответ: нет.

3) $x^2 - 13x + 42 = 0$ числа 5 и 8;
В этом уравнении коэффициенты $p = -13$ и $q = 42$.
Проверяем условия:
Сумма: $5 + 8 = 13$. По теореме Виета, сумма корней должна быть $-p = -(-13) = 13$. Условие выполняется.
Произведение: $5 \cdot 8 = 40$. По теореме Виета, произведение корней должно быть $q = 42$.
Условие для произведения не выполняется, так как $40 \ne 42$.
Следовательно, числа 5 и 8 не являются корнями уравнения.
Ответ: нет.

4) $x^2 - 20x - 99 = 0$ числа 9 и 11.
В этом уравнении коэффициенты $p = -20$ и $q = -99$.
Проверяем условия:
Сумма: $9 + 11 = 20$. По теореме Виета, сумма корней должна быть $-p = -(-20) = 20$. Условие выполняется.
Произведение: $9 \cdot 11 = 99$. По теореме Виета, произведение корней должно быть $q = -99$.
Условие для произведения не выполняется, так как $99 \ne -99$.
Следовательно, числа 9 и 11 не являются корнями уравнения.
Ответ: нет.