Номер 21.9, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.9, страница 178.

Условие.

21.9. Число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 42 = 0$. Найдите значение $p$ и второй корень уравнения.

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 + px - 42 = 0$. Известно, что число 7 является одним из его корней. Обозначим этот корень как $x_1 = 7$. Нам нужно найти значение коэффициента $p$ и второй корень уравнения $x_2$.

Для решения этой задачи удобно использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -42$

Сначала найдем второй корень $x_2$, используя соотношение для произведения корней и известный корень $x_1 = 7$:

$7 \cdot x_2 = -42$

Разделим обе части уравнения на 7:

$x_2 = \frac{-42}{7}$

$x_2 = -6$

Теперь, зная оба корня ($x_1 = 7$ и $x_2 = -6$), мы можем найти значение $p$ из соотношения для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -p$

$7 + (-6) = -p$

$1 = -p$

Отсюда следует, что:

$p = -1$

Таким образом, мы нашли и значение $p$, и второй корень уравнения.

Ответ: $p = -1$, второй корень равен -6.