Номер 21.13, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.13, страница 179.

Условие.

21.13. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $5x^2 + 4x - 13 = 0$. Не ре- шая уравнение, найдите значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$.

Решение.

Для решения данной задачи, не решая уравнение, следует использовать теорему Виета.

Задано квадратное уравнение $5x^2 + 4x - 13 = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a=5$, $b=4$, $c=-13$.

По теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$
2. Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим значения коэффициентов нашего уравнения в эти формулы:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{4}{5}$
Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-13}{5} = -\frac{13}{5}$

Теперь нужно найти значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$.
Преобразуем это выражение так, чтобы можно было использовать найденные нами сумму и произведение корней. Для этого вынесем минус за скобки у последних двух слагаемых:
$3x_1x_2 - x_1 - x_2 = 3(x_1x_2) - (x_1 + x_2)$

Подставим в полученное выражение числовые значения для $x_1x_2$ и $x_1+x_2$:
$3 \cdot (-\frac{13}{5}) - (-\frac{4}{5}) = -\frac{3 \cdot 13}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{39}{5} + \frac{4}{5} = \frac{-39+4}{5} = \frac{-35}{5} = -7$

Ответ: -7