Номер 21.19, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.19, страница 179.

Условие.

21.19. Корни уравнения $x^2 + 20x + a = 0$ относятся как $7 : 3$. Найдите значение параметра $a$ и корни уравнения.

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 20x + a = 0$. Пусть его корни – $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, корни относятся как $7:3$. Это значит, что их можно представить в виде $x_1 = 7k$ и $x_2 = 3k$, где $k$ – некоторый коэффициент пропорциональности.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -20$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a$

Подставим выражения для корней через $k$ в первое уравнение (уравнение для суммы корней):

$7k + 3k = -20$

$10k = -20$

Отсюда находим значение $k$:

$k = \frac{-20}{10} = -2$

Теперь, зная $k$, мы можем найти сами корни уравнения:

$x_1 = 7k = 7 \cdot (-2) = -14$

$x_2 = 3k = 3 \cdot (-2) = -6$

Мы нашли корни уравнения. Осталось найти значение параметра $a$. Для этого воспользуемся вторым уравнением из теоремы Виета (уравнением для произведения корней):

$a = x_1 \cdot x_2$

$a = (-14) \cdot (-6)$

$a = 84$

Таким образом, значение параметра $a$ равно 84, а корни уравнения – -14 и -6.

Ответ: $a = 84$; корни уравнения: $-14$ и $-6$.