Номер 21.21, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.21, страница 179.

Условие.

21.21. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 4x + n = 0$ удовлетворяют условию $3x_1 - x_2 = 8$. Найдите корни уравнения и значение параметра $n$.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае дано уравнение $x^2 + 4x + n = 0$. Сравнивая его со стандартным видом, получаем $p=4$ и $q=n$.

Согласно теореме Виета, для этого уравнения:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = n$

Кроме того, из условия задачи известно, что корни связаны соотношением:

$3x_1 - x_2 = 8$

Теперь мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $x_2$, чтобы найти значения корней:

$$\begin{cases}x_1 + x_2 = -4 \\3x_1 - x_2 = 8\end{cases}$$

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (3x_1 - x_2) = -4 + 8$

$4x_1 = 4$

$x_1 = 1$

Теперь подставим найденное значение $x_1 = 1$ в первое уравнение системы ($x_1 + x_2 = -4$), чтобы найти $x_2$:

$1 + x_2 = -4$

$x_2 = -4 - 1$

$x_2 = -5$

Итак, корни уравнения равны $1$ и $-5$.

Теперь, используя второе соотношение из теоремы Виета, найдем значение параметра $n$:

$n = x_1 \cdot x_2$

Подставим найденные значения корней:

$n = 1 \cdot (-5) = -5$

Проверка: подставим $n=-5$ в исходное уравнение: $x^2 + 4x - 5 = 0$. Его корни можно найти, например, по формуле дискриминанта: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$. Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$, то есть $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-10}{2} = -5$. Проверим условие $3x_1 - x_2 = 8$: $3 \cdot 1 - (-5) = 3 + 5 = 8$. Все условия выполнены.

Ответ: корни уравнения: $1$ и $-5$; значение параметра $n = -5$.