Номер 21.22, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.22, страница 179.

Условие.

21.22. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x + 6 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 - x_2)^2$;

4) $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3$;

5) $x_1^3 + x_2^3$.

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 9x + 6 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, не находя сами корни.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = 6$

Теперь, используя эти значения, найдем значения заданных выражений.

---

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1,5

---

2) $x_1^2 + x_2^2$

Выразим сумму квадратов корней через квадрат их суммы:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Подставим известные значения:

$(9)^2 - 2 \cdot 6 = 81 - 12 = 69$

Ответ: 69

---

3) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1 x_2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 69$. Подставим это значение:

$69 - 2 \cdot 6 = 69 - 12 = 57$

Альтернативный способ:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 9^2 - 4 \cdot 6 = 81 - 24 = 57$

Ответ: 57

---

4) $x_1x_2^3 + x_2x_1^3$

Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:

$x_1x_2^3 + x_2x_1^3 = x_1 x_2 (x_2^2 + x_1^2) = x_1 x_2 (x_1^2 + x_2^2)$

Подставим известные значения $x_1 x_2 = 6$ и $x_1^2 + x_2^2 = 69$ (из пункта 2):

$6 \cdot 69 = 414$

Ответ: 414

---

5) $x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2)$

Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 9$, $x_1^2 + x_2^2 = 69$ и $x_1 x_2 = 6$:

$9 \cdot (69 - 6) = 9 \cdot 63 = 567$

Ответ: 567