Номер 21.22, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.22, страница 179.

№21.22 (с. 179)
Условие. №21.22 (с. 179)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 179, номер 21.22, Условие

21.22. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x + 6 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 - x_2)^2$;

4) $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3$;

5) $x_1^3 + x_2^3$.

Решение. №21.22 (с. 179)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 9x + 6 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, не находя сами корни.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

  • Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$
  • Произведение корней: $x_1 x_2 = 6$

Теперь, используя эти значения, найдем значения заданных выражений.


1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1,5


2) $x_1^2 + x_2^2$

Выразим сумму квадратов корней через квадрат их суммы:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Подставим известные значения:

$(9)^2 - 2 \cdot 6 = 81 - 12 = 69$

Ответ: 69


3) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1 x_2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 69$. Подставим это значение:

$69 - 2 \cdot 6 = 69 - 12 = 57$

Альтернативный способ:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 9^2 - 4 \cdot 6 = 81 - 24 = 57$

Ответ: 57


4) $x_1x_2^3 + x_2x_1^3$

Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:

$x_1x_2^3 + x_2x_1^3 = x_1 x_2 (x_2^2 + x_1^2) = x_1 x_2 (x_1^2 + x_2^2)$

Подставим известные значения $x_1 x_2 = 6$ и $x_1^2 + x_2^2 = 69$ (из пункта 2):

$6 \cdot 69 = 414$

Ответ: 414


5) $x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2)$

Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 9$, $x_1^2 + x_2^2 = 69$ и $x_1 x_2 = 6$:

$9 \cdot (69 - 6) = 9 \cdot 63 = 567$

Ответ: 567

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 21.22 расположенного на странице 179 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21.22 (с. 179), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.