Номер 21.22, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.22, страница 179.
№21.22 (с. 179)
Условие. №21.22 (с. 179)
скриншот условия
 
                                21.22. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x + 6 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;
2) $x_1^2 + x_2^2$;
3) $(x_1 - x_2)^2$;
4) $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3$;
5) $x_1^3 + x_2^3$.
Решение. №21.22 (с. 179)
Дано квадратное уравнение $x^2 - 9x + 6 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, не находя сами корни.
Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
- Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$
- Произведение корней: $x_1 x_2 = 6$
Теперь, используя эти значения, найдем значения заданных выражений.
1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$
Подставим известные значения суммы и произведения корней:
$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: 1,5
2) $x_1^2 + x_2^2$
Выразим сумму квадратов корней через квадрат их суммы:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
Подставим известные значения:
$(9)^2 - 2 \cdot 6 = 81 - 12 = 69$
Ответ: 69
3) $(x_1 - x_2)^2$
Раскроем скобки и преобразуем выражение:
$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1 x_2$
Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 69$. Подставим это значение:
$69 - 2 \cdot 6 = 69 - 12 = 57$
Альтернативный способ:
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 9^2 - 4 \cdot 6 = 81 - 24 = 57$
Ответ: 57
4) $x_1x_2^3 + x_2x_1^3$
Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:
$x_1x_2^3 + x_2x_1^3 = x_1 x_2 (x_2^2 + x_1^2) = x_1 x_2 (x_1^2 + x_2^2)$
Подставим известные значения $x_1 x_2 = 6$ и $x_1^2 + x_2^2 = 69$ (из пункта 2):
$6 \cdot 69 = 414$
Ответ: 414
5) $x_1^3 + x_2^3$
Воспользуемся формулой суммы кубов:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2)$
Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 9$, $x_1^2 + x_2^2 = 69$ и $x_1 x_2 = 6$:
$9 \cdot (69 - 6) = 9 \cdot 63 = 567$
Ответ: 567
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 21.22 расположенного на странице 179 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21.22 (с. 179), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    