Номер 21.15, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.15, страница 179.

Условие.

21.15. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:

1) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

2) $x^2 + 5x + 4 = 0;$

3) $x^2 - 9x + 20 = 0;$

4) $x^2 + 2x - 8 = 0;$

5) $2x^2 + 5x + 3 = 0;$

6) $-8x^2 - 19x + 27 = 0.$

Решение.

1) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен 1). Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ – свободному члену.

$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Подбором находим числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 1 и 4, так как $1 + 4 = 5$ и $1 \cdot 4 = 4$.

Ответ: 1; 4.

2) $x^2 + 5x + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Поскольку произведение корней положительно ($+4$), а сумма отрицательна ($-5$), оба корня должны быть отрицательными. Подбираем такие числа: $-1$ и $-4$. Проверяем: $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$. Условия выполняются.

Ответ: -4; -1.

3) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$

$x_1 \cdot x_2 = 20$

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня также положительны. Подбираем числа, произведение которых равно 20, а сумма – 9. Это числа 4 и 5. Проверяем: $4 + 5 = 9$ и $4 \cdot 5 = 20$. Условия выполняются.

Ответ: 4; 5.

4) $x^2 + 2x - 8 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Произведение корней отрицательно, значит, корни имеют разные знаки. Сумма отрицательна, значит, отрицательный корень по модулю больше положительного. Подбираем такие числа: 2 и -4. Проверяем: $2 + (-4) = -2$ и $2 \cdot (-4) = -8$. Условия выполняются.

Ответ: -4; 2.

5) $2x^2 + 5x + 3 = 0$

Это не приведенное квадратное уравнение. Для применения теоремы, обратной теореме Виета, разделим обе части уравнения на старший коэффициент 2:

$x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0$

Теперь ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}$

Произведение положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны. Подберем числа. Такими числами являются $-1$ и $-\frac{3}{2}$. Проверяем: $(-1) + (-\frac{3}{2}) = -\frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$ и $(-1) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$. Условия выполняются.

Ответ: -1,5; -1.

6) $-8x^2 - 19x + 27 = 0$

Для удобства умножим обе части уравнения на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным:

$8x^2 + 19x - 27 = 0$

Для этого уравнения, согласно обобщенной теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{19}{8}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{27}{8}$

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения $8x^2 + 19x - 27 = 0$ равна $8 + 19 - 27 = 0$. Это свойство означает, что один из корней уравнения равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Найдем второй корень из произведения: $1 \cdot x_2 = -\frac{27}{8}$, откуда $x_2 = -\frac{27}{8}$.

Проверим сумму: $1 + (-\frac{27}{8}) = \frac{8}{8} - \frac{27}{8} = -\frac{19}{8}$. Условие выполняется.

Ответ: 1; $-\frac{27}{8}$.