Номер 21.12, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.12, страница 179.

Условие.

21.12. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 7x - 13 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2$.

Решение.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 7x - 13 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ являются его корнями. Требуется найти значение выражения $x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2$, не решая само уравнение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами уравнения следующими соотношениями:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $2x^2 - 7x - 13 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -7$, $c = -13$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-13}{2}$

Теперь преобразуем искомое выражение. Вынесем общий множитель -4 за скобки в последних двух слагаемых:

$x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2 = x_1x_2 - 4(x_1 + x_2)$

Подставим найденные по теореме Виета значения суммы и произведения корней в преобразованное выражение:

$x_1x_2 - 4(x_1 + x_2) = \frac{-13}{2} - 4 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)$

Выполним вычисления:

$\frac{-13}{2} - \frac{4 \cdot 7}{2} = \frac{-13}{2} - \frac{28}{2} = \frac{-13 - 28}{2} = \frac{-41}{2} = -20.5$

Ответ: -20.5