Номер 21.6, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.6, страница 178.

Условие.

21.6. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $-\frac{1}{3}$ и 2;

2) $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$;

3) 0 и 6;

4) $-\sqrt{7}$ и $\sqrt{7}$.

Решение.

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями $x_1$ и $x_2$ используется формула, основанная на теореме, обратной теореме Виета: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Если после подстановки корней коэффициенты уравнения получаются дробными, необходимо умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами.

1) Корни: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = 2$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3}$.

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$.

Составим уравнение, подставив найденные значения:

$x^2 - (\frac{5}{3})x + (-\frac{2}{3}) = 0$

$x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0$.

Чтобы коэффициенты стали целыми, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}) = 3 \cdot 0$

$3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Ответ: $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

2) Корни: $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Составим уравнение, подставив найденные значения:

$x^2 - 4x + 1 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения (1, -4, 1) уже являются целыми.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

3) Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = 0 + 6 = 6$.

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 6 = 0$.

Составим уравнение, подставив найденные значения:

$x^2 - 6x + 0 = 0$

$x^2 - 6x = 0$.

Коэффициенты этого уравнения (1, -6, 0) уже являются целыми.

Ответ: $x^2 - 6x = 0$.

4) Корни: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$.

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{7})(\sqrt{7}) = -7$.

Составим уравнение, подставив найденные значения:

$x^2 - 0 \cdot x + (-7) = 0$

$x^2 - 7 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения (1, 0, -7) уже являются целыми.

Ответ: $x^2 - 7 = 0$.