Номер 21.14, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.14, страница 179.

Условие.

21.14. При каком значении параметра $b$ корни уравнения $x^2 + bx - 17 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx - 17 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По условию задачи, корни являются противоположными числами. Это означает, что $x_1 = -x_2$, или, что то же самое, их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета справедливы следующие соотношения для корней:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + bx - 17 = 0$ коэффициенты равны $p=b$ и $q=-17$.

Следовательно, сумма корней нашего уравнения равна $x_1 + x_2 = -b$.

Так как мы установили, что сумма противоположных корней равна нулю ($x_1 + x_2 = 0$), мы можем приравнять два выражения для суммы корней:
$-b = 0$
Отсюда следует, что $b = 0$.

Теперь, зная значение параметра $b$, мы можем найти сами корни. Для этого подставим $b=0$ в исходное уравнение:
$x^2 + 0 \cdot x - 17 = 0$
$x^2 - 17 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 17$
$x = \pm \sqrt{17}$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{17}$ и $x_2 = -\sqrt{17}$.

Ответ: при $b=0$ корни уравнения равны $\sqrt{17}$ и $-\sqrt{17}$.