Номер 21.17, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.17, страница 179.

Условие.

21.17. Какие из данных уравнений имеют:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$;

2) $x^2 + 6x + 2 = 0$;

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$;

4) $x^2 + 16x - 10 = 0$;

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$;

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$?

Решение.

Для анализа знаков корней приведенных квадратных уравнений вида $x^2 + px + q = 0$ воспользуемся теоремой Виета и свойством дискриминанта. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. Уравнение имеет два действительных корня, если его дискриминант $D = p^2 - 4q > 0$.

а) два положительных корня

Уравнение имеет два положительных корня ($x_1 > 0, x_2 > 0$), если одновременно выполняются три условия:
1. Дискриминант $D > 0$.
2. Произведение корней $q > 0$ (оба корня имеют одинаковый знак).
3. Сумма корней $-p > 0$, что эквивалентно $p < 0$ (знак положительный).

Проверим каждое уравнение на соответствие этим условиям:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$: Здесь $p = -12$, $q = 14$.
$p < 0$ и $q > 0$. Проверим дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 144 - 56 = 88 > 0$. Все условия выполнены.

2) $x^2 + 6x + 2 = 0$: $p = 6 > 0$. Условие $p < 0$ не выполнено.

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$: $q = -30 < 0$. Условие $q > 0$ не выполнено.

4) $x^2 + 16x - 10 = 0$: $q = -10 < 0$. Условие $q > 0$ не выполнено.

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$: Здесь $p = -24$, $q = 0,1$.
$p < 0$ и $q > 0$. Проверим дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,1 = 576 - 0,4 = 575,6 > 0$. Все условия выполнены.

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$: $p = 20 > 0$. Условие $p < 0$ не выполнено.

Ответ: 1), 5).

б) два отрицательных корня

Уравнение имеет два отрицательных корня ($x_1 < 0, x_2 < 0$), если одновременно выполняются три условия:
1. Дискриминант $D > 0$.
2. Произведение корней $q > 0$ (оба корня имеют одинаковый знак).
3. Сумма корней $-p < 0$, что эквивалентно $p > 0$ (знак отрицательный).

Проверим каждое уравнение на соответствие этим условиям:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$: $p = -12 < 0$. Условие $p > 0$ не выполнено.

2) $x^2 + 6x + 2 = 0$: Здесь $p = 6$, $q = 2$.
$p > 0$ и $q > 0$. Проверим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28 > 0$. Все условия выполнены.

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$: $q = -30 < 0$. Условие $q > 0$ не выполнено.

4) $x^2 + 16x - 10 = 0$: $q = -10 < 0$. Условие $q > 0$ не выполнено.

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$: $p = -24 < 0$. Условие $p > 0$ не выполнено.

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$: Здесь $p = 20$, $q = 3$.
$p > 0$ и $q > 0$. Проверим дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 400 - 12 = 388 > 0$. Все условия выполнены.

Ответ: 2), 6).

в) корни разных знаков

Уравнение имеет корни разных знаков, если их произведение отрицательно: $x_1 \cdot x_2 = q < 0$. Если это условие выполняется, то дискриминант $D = p^2 - 4q$ всегда будет положительным, так как $p^2 \ge 0$ и $-4q > 0$, что гарантирует наличие двух различных действительных корней.

Проверим каждое уравнение на соответствие этому условию:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$: $q = 14 > 0$.

2) $x^2 + 6x + 2 = 0$: $q = 2 > 0$.

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$: $q = -30 < 0$. Условие выполнено.

4) $x^2 + 16x - 10 = 0$: $q = -10 < 0$. Условие выполнено.

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$: $q = 0,1 > 0$.

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$: $q = 3 > 0$.

Ответ: 3), 4).