Номер 21.23, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.23, страница 179.

Условие.

21.23. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x - 16 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$;

2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;

3) $|x_2 - x_1|$.

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 5x - 16 = 0$. По теореме Виета для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{5}{1} = -5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-16}{1} = -16$

Используем эти соотношения для нахождения значений выражений, не решая само уравнение.

1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$

Для нахождения значения этого выражения вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Теперь подставим известные значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-16) \cdot (-5) = 80$

Ответ: 80.

2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}$

Числитель $x_1^2 + x_2^2$ можно выразить через сумму и произведение корней, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим это выражение в нашу дробь:

$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$

Подставим числовые значения из теоремы Виета:

$\frac{(-5)^2 - 2 \cdot (-16)}{-16} = \frac{25 + 32}{-16} = \frac{57}{-16} = -\frac{57}{16}$

Ответ: $-\frac{57}{16}$.

3) $|x_2 - x_1|$

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся свойством модуля: $|a| = \sqrt{a^2}$. Таким образом, $|x_2 - x_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}$.

Раскроем квадрат разности и преобразуем его так, чтобы можно было использовать теорему Виета:

$(x_2 - x_1)^2 = x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$

Как мы выяснили в предыдущем пункте, $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$. Подставим это:

$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Теперь подставим известные значения суммы и произведения корней:

$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-5)^2 - 4 \cdot (-16) = 25 + 64 = 89$

Следовательно, искомое значение:

$|x_2 - x_1| = \sqrt{89}$

Ответ: $\sqrt{89}$.