Номер 21.30, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.30, страница 180.

Условие.

21.30. Верно ли утверждение:

1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении параметра $a$;

2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения параметра $a$ они оба отрицательны?

Решение.

1)

Рассмотрим квадратное уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$.

Для того чтобы корни квадратного уравнения были разных знаков, необходимо выполнение двух условий:

1. Уравнение должно иметь два действительных корня, то есть дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля ($D > 0$).
2. Произведение корней должно быть отрицательным ($x_1 x_2 < 0$).

Проверим оба условия, используя теорему Виета. Для уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ коэффициенты равны: $A = 7$, $B = 4$, $C = -a^2 - 1 = -(a^2 + 1)$.

1. Найдем и проанализируем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-(a^2 + 1)) = 16 + 28(a^2 + 1) = 16 + 28a^2 + 28 = 28a^2 + 44$.

Поскольку $a^2$ является неотрицательной величиной для любого действительного числа $a$ ($a^2 \ge 0$), то $28a^2 \ge 0$. Следовательно, дискриминант $D = 28a^2 + 44 \ge 44$.

Так как $D > 0$ при любом значении параметра $a$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

2. Найдем произведение корней по теореме Виета:

$x_1 x_2 = \frac{C}{A} = \frac{-(a^2 + 1)}{7}$.

Проанализируем знак этого выражения. Выражение $a^2 + 1$ всегда положительно, так как $a^2 \ge 0$, а значит $a^2 + 1 \ge 1$. Тогда числитель $-(a^2 + 1)$ всегда отрицателен. Знаменатель $7$ положителен. Частное отрицательного и положительного чисел всегда отрицательно.

Таким образом, $x_1 x_2 < 0$ при любом значении $a$.

Поскольку оба условия выполняются для любого значения параметра $a$, данное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

2)

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$.

Условие "если уравнение имеет корни" означает, что мы рассматриваем только те значения параметра $a$, при которых дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Для данного уравнения коэффициенты: $A = 1$, $B = 6$, $C = a^2 + 4$.

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 4) = 36 - 4a^2 - 16 = 20 - 4a^2$.

Условие существования корней $D \ge 0$ означает, что $20 - 4a^2 \ge 0$, что равносильно $a^2 \le 5$. Это выполняется при $-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$.

Теперь определим знаки корней при условии, что они существуют. Для того чтобы оба корня были отрицательными, необходимо (при $D \ge 0$) выполнение двух условий, следующих из теоремы Виета:

1. Сумма корней должна быть отрицательной: $x_1 + x_2 < 0$.
2. Произведение корней должно быть положительным: $x_1 x_2 > 0$.

Проверим эти условия для нашего уравнения.

1. Сумма корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{6}{1} = -6$.

Сумма корней равна $-6$, что является отрицательным числом. Первое условие выполняется всегда.

2. Произведение корней:

$x_1 x_2 = \frac{C}{A} = \frac{a^2 + 4}{1} = a^2 + 4$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $a^2 + 4 \ge 4$. Таким образом, произведение корней всегда положительно. Второе условие выполняется всегда.

Итак, если уравнение имеет корни, их сумма всегда отрицательна, а произведение всегда положительно. Если произведение двух чисел положительно, они имеют одинаковый знак. Если при этом их сумма отрицательна, то оба числа должны быть отрицательными.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.