Номер 21.35, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.35, страница 180.

Условие.

21.35. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (a+2)x + a^2 - 4a = 0$ равно 5?

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a+2)x + a^2 - 4a = 0$. По теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ равно $\frac{C}{A}$. В данном уравнении коэффициенты равны: $A=1$, $B=a+2$, $C=a^2-4a$. Следовательно, произведение корней равно:$x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2-4a}{1} = a^2 - 4a$.

По условию задачи, произведение корней равно 5. Составим и решим уравнение относительно параметра $a$:$a^2 - 4a = 5$$a^2 - 4a - 5 = 0$Это квадратное уравнение относительно $a$. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета для этого уравнения или решить через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Корни легко подбираются: $a_1 = 5$ и $a_2 = -1$.

Однако, чтобы у исходного уравнения существовали корни (в данном контексте подразумеваются действительные корни), его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант исходного уравнения $x^2 + (a+2)x + a^2 - 4a = 0$:$D = B^2 - 4AC = (a+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a)$$D = (a^2 + 4a + 4) - (4a^2 - 16a)$$D = a^2 + 4a + 4 - 4a^2 + 16a$$D = -3a^2 + 20a + 4$

Теперь проверим, при каких из найденных значений $a$ выполняется условие $D \ge 0$.

1. Проверяем $a = 5$:$D = -3(5)^2 + 20(5) + 4 = -3 \cdot 25 + 100 + 4 = -75 + 104 = 29$. Так как $29 > 0$, при $a=5$ уравнение имеет два различных действительных корня, и это значение нам подходит.

2. Проверяем $a = -1$:$D = -3(-1)^2 + 20(-1) + 4 = -3 \cdot 1 - 20 + 4 = -3 - 20 + 4 = -19$. Так как $-19 < 0$, при $a=-1$ уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, это значение нам не подходит.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=5$.

Ответ: 5.