Номер 21.32, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.32, страница 180.

Условие.

21.32. Найдите все значения параметра $b$, при которых имеет целые корни уравнение:

1) $x^2 + bx + 8 = 0$;

2) $x^2 + bx - 18 = 0$.

Решение.

1) $x^2 + bx + 8 = 0$

Поскольку по условию корни уравнения $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами, мы можем воспользоваться теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = 8 \end{cases} $

Из второго уравнения системы следует, что целые корни $x_1$ и $x_2$ являются делителями числа 8. Найдем все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 8:

$(1; 8)$, $(-1; -8)$, $(2; 4)$, $(-2; -4)$.

Из первого уравнения системы имеем $b = -(x_1 + x_2)$. Найдем соответствующие значения параметра $b$ для каждой пары корней:

Если корни $1$ и $8$, то $b = -(1 + 8) = -9$.

Если корни $-1$ и $-8$, то $b = -(-1 + (-8)) = -(-9) = 9$.

Если корни $2$ и $4$, то $b = -(2 + 4) = -6$.

Если корни $-2$ и $-4$, то $b = -(-2 + (-4)) = -(-6) = 6$.

Таким образом, уравнение имеет целые корни при значениях параметра $b$, равных $-9, 9, -6, 6$.

Ответ: $b \in \{-9, -6, 6, 9\}$.

2) $x^2 + bx - 18 = 0$

Аналогично первому пункту, воспользуемся теоремой Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения.

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} $

Из второго уравнения системы следует, что целые корни $x_1$ и $x_2$ являются делителями числа -18. Найдем все возможные пары целых чисел, произведение которых равно -18:

$(1; -18)$, $(-1; 18)$, $(2; -9)$, $(-2; 9)$, $(3; -6)$, $(-3; 6)$.

Найдем соответствующие значения параметра $b$ из уравнения $b = -(x_1 + x_2)$ для каждой пары:

Если корни $1$ и $-18$, то $b = -(1 - 18) = 17$.

Если корни $-1$ и $18$, то $b = -(-1 + 18) = -17$.

Если корни $2$ и $-9$, то $b = -(2 - 9) = 7$.

Если корни $-2$ и $9$, то $b = -(-2 + 9) = -7$.

Если корни $3$ и $-6$, то $b = -(3 - 6) = 3$.

Если корни $-3$ и $6$, то $b = -(-3 + 6) = -3$.

Таким образом, уравнение имеет целые корни при значениях параметра $b$, равных $17, -17, 7, -7, 3, -3$.

Ответ: $b \in \{-17, -7, -3, 3, 7, 17\}$.