Номер 21.38, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.38, страница 180.

Условие.

21.38. При каких значениях параметра $a$ модуль разности корней уравнения $x^2 - ax + 2a = 0$ равен 3?

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - ax + 2a = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По условию задачи, модуль их разности равен 3: $|x_1 - x_2| = 3$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант уравнения $D$ был неотрицательным. $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a) = a^2 - 8a$. Таким образом, должно выполняться условие $a^2 - 8a \ge 0$.

Модуль разности корней квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ можно выразить через его дискриминант $D$ и коэффициент $A$ по формуле: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|A|}$.

В нашем случае $A=1$, поэтому формула упрощается: $|x_1 - x_2| = \sqrt{D} = \sqrt{a^2 - 8a}$.

Подставим в это выражение заданное условие $|x_1 - x_2| = 3$: $\sqrt{a^2 - 8a} = 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $a^2 - 8a = 3^2$ $a^2 - 8a = 9$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно параметра $a$: $a^2 - 8a - 9 = 0$.

Решим полученное уравнение. Можно применить теорему Виета. Сумма корней $a_1 + a_2$ должна быть равна 8, а их произведение $a_1 \cdot a_2$ должно быть равно -9. Этим условиям удовлетворяют числа 9 и -1. Таким образом, получаем два возможных значения для параметра $a$: $a_1 = 9$, $a_2 = -1$.

Заметим, что при этих значениях $a$ дискриминант исходного уравнения $D = 9$, что больше нуля. Это означает, что условие существования двух различных действительных корней выполнено.

Ответ: -1; 9.