Вопросы?, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - страница 185.

Условие.

1. Какой многочлен называют квадратным трёхчленом?

2. Что называют корнем квадратного трёхчлена?

3. Что называют дискриминантом квадратного трёхчлена?

$D = b^2 - 4ac$

4. В каком случае квадратный трёхчлен не имеет корней? Имеет один корень? Имеет два корня?

5. В каком случае квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

6. По какой формуле квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

где $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

7. В каком случае квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители?

8. Какие значения принимает квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом?

Решение.

1. Квадратным трёхчленом называют многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Ответ:

2. Корнем квадратного трёхчлена называют такое значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена обращается в нуль. То есть, это корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Ответ:

3. Дискриминантом квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ называют значение выражения $D = b^2 - 4ac$. Знак дискриминанта определяет количество корней трёхчлена. Ответ:

4. Количество действительных корней квадратного трёхчлена зависит от знака его дискриминанта $D$:
• Квадратный трёхчлен не имеет корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$).
• Квадратный трёхчлен имеет один корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$).
• Квадратный трёхчлен имеет два различных корня, если его дискриминант положителен ($D > 0$). Ответ:

5. Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители в том случае, если он имеет действительные корни. Это условие выполняется, когда его дискриминант является неотрицательным числом, то есть $D \ge 0$. Ответ:

6. Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то его можно разложить на линейные множители по следующей формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Ответ:

7. Квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители (в поле действительных чисел), если он не имеет действительных корней. Это происходит в том случае, когда его дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$. Ответ:

8. Если дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен ($D < 0$), то трёхчлен не имеет корней и сохраняет постоянный знак для всех значений $x$. Этот знак совпадает со знаком старшего коэффициента $a$:
• Если $a > 0$, то трёхчлен принимает только положительные значения для любого $x$.
• Если $a < 0$, то трёхчлен принимает только отрицательные значения для любого $x$. Ответ: