Номер 22.2, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.2, страница 186.

Условие.

22.2. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 3x - 18;$

2) $-x^2 + 3x + 4;$

3) $5x^2 + 8x - 4;$

4) $ - \frac{1}{4}x^2 - 2x - 3;$

5) $0,3m^2 - 3m + 7,5;$

6) $-0,5x^2 + x + 1,5.$

Решение.

1) $x^2 - 3x - 18$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти его корни $x_1$ и $x_2$, решив квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. После нахождения корней, трёхчлен можно представить в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a=1$:

$x^2 - 3x - 18 = 1 \cdot (x - 6)(x - (-3)) = (x - 6)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 6)(x + 3)$.

2) $-x^2 + 3x + 4$

Найдём корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Для удобства умножим уравнение на -1:

$x^2 - 3x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Подставим корни в формулу разложения, учитывая, что в исходном трёхчлене коэффициент $a = -1$:

$-x^2 + 3x + 4 = -1 \cdot (x - 4)(x - (-1)) = -(x - 4)(x + 1)$.

Ответ: $-(x - 4)(x + 1)$.

3) $5x^2 + 8x - 4$

Найдём корни уравнения $5x^2 + 8x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.

Подставим корни в формулу разложения, где $a = 5$:

$5x^2 + 8x - 4 = 5(x - \frac{2}{5})(x - (-2)) = 5(x - \frac{2}{5})(x + 2)$.

Внесём множитель 5 в первую скобку:

$(5 \cdot x - 5 \cdot \frac{2}{5})(x + 2) = (5x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $(5x - 2)(x + 2)$.

4) $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3$

Найдём корни уравнения $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3 = 0$. Умножим уравнение на -4, чтобы избавиться от дроби и знака минус:

$x^2 + 8x + 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = -6$.

Подставим корни в формулу разложения, где в исходном трёхчлене коэффициент $a = -\frac{1}{4}$:

$-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3 = -\frac{1}{4}(x - (-2))(x - (-6)) = -\frac{1}{4}(x + 2)(x + 6)$.

Ответ: $-\frac{1}{4}(x + 2)(x + 6)$.

5) $0,3m^2 - 3m + 7,5$

Найдём корни уравнения $0,3m^2 - 3m + 7,5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 0,3 \cdot 7,5 = 9 - 1,2 \cdot 7,5 = 9 - 9 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих):

$m = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2 \cdot 0,3} = \frac{3}{0,6} = 5$.

Подставим корень в формулу разложения, где $a = 0,3$:

$0,3m^2 - 3m + 7,5 = 0,3(m - 5)(m - 5) = 0,3(m - 5)^2$.

Ответ: $0,3(m - 5)^2$.

6) $-0,5x^2 + x + 1,5$

Найдём корни уравнения $-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$. Умножим уравнение на -2:

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Подставим корни в формулу разложения, где в исходном трёхчлене коэффициент $a = -0,5$:

$-0,5x^2 + x + 1,5 = -0,5(x - 3)(x - (-1)) = -0,5(x - 3)(x + 1)$.

Ответ: $-0,5(x - 3)(x + 1)$.