Номер 22.7, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.7, страница 186.

Условие.

22.7. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 4}}{x + 2}$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{5x^2 - 4x + 1}}$.

Решение.

1) $ y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 4}}{x + 2} $

Область определения данной функции находится из двух условий: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Составим систему:

$ \begin{cases} x^2 - 3x + 4 \ge 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство $ x^2 - 3x + 4 \ge 0 $. Это квадратичная функция, ветви параболы которой направлены вверх, так как коэффициент при $ x^2 $ равен 1 (положительный). Найдем дискриминант соответствующего уравнения $ x^2 - 3x + 4 = 0 $:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 $.

Так как дискриминант $ D < 0 $, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox и полностью расположена над ней. Следовательно, выражение $ x^2 - 3x + 4 $ всегда положительно, и неравенство $ x^2 - 3x + 4 \ge 0 $ выполняется для любого действительного числа $ x $.

Второе условие $ x + 2 \neq 0 $ дает нам $ x \neq -2 $.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $ -2 $.

Ответ: $ (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) $.

2) $ y = \frac{1}{\sqrt{5x^2 - 4x + 1}} $

Для данной функции выражение под знаком квадратного корня находится в знаменателе. Это означает, что оно должно быть строго больше нуля, чтобы и корень извлекался, и знаменатель не был равен нулю. Составим неравенство:

$ 5x^2 - 4x + 1 > 0 $.

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх ($ a = 5 > 0 $). Найдем дискриминант соответствующего уравнения $ 5x^2 - 4x + 1 = 0 $:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 - 20 = -4 $.

Так как дискриминант $ D < 0 $, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и полностью расположена над ней. Это означает, что выражение $ 5x^2 - 4x + 1 $ всегда положительно при любом $ x $.

Следовательно, неравенство $ 5x^2 - 4x + 1 > 0 $ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $ (-\infty; +\infty) $.