Номер 22.5, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.5, страница 186.

Условие.

22.5. Решите неравенство:

1) $x^2 + x + 1 > 0;$

2) $-x^2 + x - 1 \leq 0;$

3) $(2x - 1)(2x^2 - 3x + 5) < 0;$

4) $\sqrt{x - 1}(-5x^2 + 8x - 5) \geq 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $x^2 + x + 1 > 0$.
Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 + x + 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем дискриминант квадратного уравнения $x^2 + x + 1 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.
Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 + x + 1$ принимает положительные значения при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Решим неравенство $-x^2 + x - 1 \le 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - x + 1 \ge 0$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).
Найдем дискриминант квадратного уравнения $x^2 - x + 1 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и она целиком лежит выше оси Ox, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $x^2 - x + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(2x - 1)(2x^2 - 3x + 5) < 0$.
Рассмотрим второй множитель, квадратный трехчлен $2x^2 - 3x + 5$.
Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31$.
Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), а дискриминант отрицательный. Это означает, что парабола $y = 2x^2 - 3x + 5$ направлена ветвями вверх и не пересекает ось Ox, то есть выражение $2x^2 - 3x + 5$ всегда принимает положительные значения.
Так как второй множитель $2x^2 - 3x + 5$ всегда больше нуля, то знак всего произведения зависит только от знака первого множителя $2x - 1$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:
$2x - 1 < 0$
$2x < 1$
$x < \frac{1}{2}$
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{2})$.

4) Решим неравенство $\sqrt{x-1}(-5x^2 + 8x - 5) \ge 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Рассмотрим второй множитель $-5x^2 + 8x - 5$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$.
Коэффициент при $x^2$ равен -5 (отрицательный), а дискриминант отрицательный. Это означает, что парабола $y = -5x^2 + 8x - 5$ направлена ветвями вниз и не пересекает ось Ox. Следовательно, выражение $-5x^2 + 8x - 5$ всегда принимает отрицательные значения.
Теперь вернемся к неравенству. На ОДЗ ($x \ge 1$) множитель $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
Неравенство имеет вид: $(\text{неотрицательное число}) \cdot (\text{отрицательное число}) \ge 0$.
Произведение неотрицательного и отрицательного числа всегда неположительно (меньше или равно нулю).
Следовательно, неравенство $\ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда произведение равно нулю.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Мы выяснили, что второй множитель $-5x^2 + 8x - 5$ никогда не равен нулю. Значит, равенство нулю достигается только за счет первого множителя:
$\sqrt{x-1} = 0$
$x-1 = 0$
$x = 1$.
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\{1\}$.