Номер 22.9, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.9, страница 187.

Условие.

22.9. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена:

1) $2x^2 - 7x + a$ содержит множитель $(x - 4)$;

2) $4x^2 - ax + 6$ содержит множитель $x + \frac{1}{2}$?

Решение.

1)

Если разложение трёхчлена $2x^2 - 7x + a$ на линейные множители содержит множитель $(x - 4)$, то, согласно следствию из теоремы Безу (теорема о корне многочлена), число $x = 4$ является корнем этого трёхчлена. Это означает, что при подстановке значения $x = 4$ в выражение, оно должно обращаться в ноль.

Составим и решим уравнение относительно параметра $a$:

$2 \cdot (4)^2 - 7 \cdot 4 + a = 0$

Выполним вычисления:

$2 \cdot 16 - 28 + a = 0$

$32 - 28 + a = 0$

$4 + a = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = -4$

Ответ: $a = -4$.

2)

Аналогично первому пункту, если разложение трёхчлена $4x^2 - ax + 6$ содержит множитель $(x + \frac{1}{2})$, то это означает, что $x = -\frac{1}{2}$ является корнем данного трёхчлена. Подставим это значение в выражение и приравняем его к нулю, чтобы найти значение $a$.

Составим и решим уравнение:

$4 \cdot (-\frac{1}{2})^2 - a \cdot (-\frac{1}{2}) + 6 = 0$

Выполним вычисления:

$4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{a}{2} + 6 = 0$

$1 + \frac{a}{2} + 6 = 0$

$7 + \frac{a}{2} = 0$

Выразим и найдём $a$:

$\frac{a}{2} = -7$

$a = -14$

Ответ: $a = -14$.