Номер 22.3, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.3, страница 186.

Условие.

22.3. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x}$;

2) $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$;

3) $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$;

4) $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$;

5) $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$;

6) $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$.

Решение.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 - 7x + 12$. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4. Таким образом, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.
Знаменатель: $x^2 - 3x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 3)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(x - 3)(x - 4)}{x(x - 3)}$.
Сократим общий множитель $(x - 3)$, при условии $x \neq 3$:
$\frac{\cancel{(x - 3)}(x - 4)}{x\cancel{(x - 3)}} = \frac{x - 4}{x}$.
Ответ: $\frac{x - 4}{x}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $4a^2 - 9$. Это разность квадратов $(2a)^2 - 3^2$, которая раскладывается как $(2a - 3)(2a + 3)$.
Знаменатель: $2a^2 - 9a - 18$. Найдем корни уравнения $2a^2 - 9a - 18 = 0$.
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни: $a_1 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$; $a_2 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Тогда $2a^2 - 9a - 18 = 2(a - 6)(a + \frac{3}{2}) = (a - 6)(2a + 3)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(2a - 3)(2a + 3)}{(a - 6)(2a + 3)}$.
Сократим общий множитель $(2a + 3)$, при условии $a \neq -\frac{3}{2}$:
$\frac{(2a - 3)\cancel{(2a + 3)}}{(a - 6)\cancel{(2a + 3)}} = \frac{2a - 3}{a - 6}$.
Ответ: $\frac{2a - 3}{a - 6}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $2b^2 - 7b + 3$. Найдем корни уравнения $2b^2 - 7b + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $b_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$; $b_2 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Тогда $2b^2 - 7b + 3 = 2(b - 3)(b - \frac{1}{2}) = (b - 3)(2b - 1)$.
Знаменатель: $4b^2 - 4b + 1$. Это полный квадрат разности $(2b - 1)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(b - 3)(2b - 1)}{(2b - 1)^2}$.
Сократим общий множитель $(2b - 1)$, при условии $b \neq \frac{1}{2}$:
$\frac{(b - 3)\cancel{(2b - 1)}}{(2b - 1)^{\cancel{2}}} = \frac{b - 3}{2b - 1}$.
Ответ: $\frac{b - 3}{2b - 1}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $m^3 - 1$. Это разность кубов $m^3 - 1^3$, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Получаем $(m - 1)(m^2 + m + 1)$.
Знаменатель: $m^2 + 9m - 10$. Найдем корни уравнения $m^2 + 9m - 10 = 0$. По теореме Виета, $m_1 = 1$, $m_2 = -10$.
Тогда $m^2 + 9m - 10 = (m - 1)(m + 10)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m + 10)}$.
Сократим общий множитель $(m - 1)$, при условии $m \neq 1$:
$\frac{\cancel{(m - 1)}(m^2 + m + 1)}{\cancel{(m - 1)}(m + 10)} = \frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$.
Ответ: $\frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 - 16$. Это разность квадратов $x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.
Знаменатель: $32 - 4x - x^2$. Вынесем -1 за скобки: $-(x^2 + 4x - 32)$. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$, $x_2 = -8$.
Тогда $x^2 + 4x - 32 = (x - 4)(x + 8)$. Значит, знаменатель равен $-(x - 4)(x + 8)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)(x + 8)}$.
Сократим общий множитель $(x - 4)$, при условии $x \neq 4$:
$\frac{\cancel{(x - 4)}(x + 4)}{-\cancel{(x - 4)}(x + 8)} = \frac{x + 4}{-(x + 8)} = -\frac{x + 4}{x + 8}$.
Ответ: $-\frac{x + 4}{x + 8}$.

6) Чтобы сократить дробь $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $4n^2 - 9n + 2$. Найдем корни уравнения $4n^2 - 9n + 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$n_1 = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$; $n_2 = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Тогда $4n^2 - 9n + 2 = 4(n-2)(n-\frac{1}{4}) = (n-2)(4n-1)$.
Знаменатель: $2 + 9n - 5n^2 = -(5n^2 - 9n - 2)$. Найдем корни уравнения $5n^2 - 9n - 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$n_1 = \frac{9+11}{10} = \frac{20}{10} = 2$; $n_2 = \frac{9-11}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Тогда $5n^2 - 9n - 2 = 5(n-2)(n+\frac{1}{5}) = (n-2)(5n+1)$. Знаменатель равен $-(n-2)(5n+1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(n-2)(4n-1)}{-(n-2)(5n+1)}$.
Сократим общий множитель $(n-2)$, при условии $n \neq 2$:
$\frac{\cancel{(n-2)}(4n-1)}{-\cancel{(n-2)}(5n+1)} = \frac{4n-1}{-(5n+1)} = -\frac{4n-1}{5n+1}$.
Ответ: $-\frac{4n-1}{5n+1}$.