Номер 22.10, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.10, страница 187.

Условие.

22.10. Упростите выражение:

1) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a};$

2) $\frac{b - 4}{b^3 - b} : \left( \frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1} \right);$

3) $\left( \frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9} \right) : \frac{c^2 + 3c}{(2c - 6)^2};$

4) $\left( \frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4} \right) : \frac{4m - 16}{2m - 3}.$

Решение.

1) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a}$

Сначала выполним умножение. Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $9a^2 - 4 = (3a - 2)(3a + 2)$ (разность квадратов).

Знаменатель первой дроби: $2a^2 - 5a + 2$. Найдем корни квадратного уравнения $2a^2 - 5a + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$a_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Таким образом, $2a^2 - 5a + 2 = 2(a - \frac{1}{2})(a - 2) = (2a - 1)(a - 2)$.

Подставим разложенные выражения в первую часть примера и сократим:

$\frac{(3a - 2)(3a + 2)}{(2a - 1)(a - 2)} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} = \frac{3a - 2}{2a - 1}$.

Теперь выполним сложение. Заметим, что $1 - 2a = -(2a - 1)$.

$\frac{3a - 2}{2a - 1} + \frac{a - 1}{1 - 2a} = \frac{3a - 2}{2a - 1} - \frac{a - 1}{2a - 1} = \frac{(3a - 2) - (a - 1)}{2a - 1} = \frac{3a - 2 - a + 1}{2a - 1} = \frac{2a - 1}{2a - 1} = 1$.

Ответ: 1

2) $\frac{b - 4}{b^3 - b} : \left( \frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1} \right)$

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители.

$2b^2 + 3b + 1$: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$. $b_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$; $b_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$.
$2b^2 + 3b + 1 = 2(b + 1)(b + \frac{1}{2}) = (b + 1)(2b + 1)$.

$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$.

Выполним вычитание в скобках:

$\frac{b - 1}{(b + 1)(2b + 1)} - \frac{1}{(b - 1)(b + 1)} = \frac{(b - 1)(b - 1) - 1(2b + 1)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b^2 - 2b + 1 - 2b - 1}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b^2 - 4b}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b(b - 4)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}$.

Теперь выполним деление. Разложим знаменатель первой дроби: $b^3 - b = b(b^2 - 1) = b(b-1)(b+1)$.

$\frac{b - 4}{b(b - 1)(b + 1)} : \frac{b(b - 4)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b - 4}{b(b - 1)(b + 1)} \cdot \frac{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}{b(b - 4)}$.

Сокращаем одинаковые множители $(b-4)$, $(b-1)$ и $(b+1)$:

$\frac{1}{b} \cdot \frac{2b + 1}{b} = \frac{2b + 1}{b^2}$.

Ответ: $\frac{2b + 1}{b^2}$

3) $\left( \frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9} \right) : \frac{c^2 + 3c}{(2c - 6)^2}$

Разложим на множители выражения в знаменателях и числителях.

$c^2 - c - 6 = (c - 3)(c + 2)$ (по теореме Виета).

$c^2 - 6c + 9 = (c - 3)^2$ (квадрат разности).

$c^2 + 3c = c(c + 3)$.

$(2c - 6)^2 = (2(c - 3))^2 = 4(c - 3)^2$.

Упростим выражение в скобках:

$\frac{c + 2}{(c - 3)(c + 2)} - \frac{2c}{(c - 3)^2} = \frac{1}{c - 3} - \frac{2c}{(c - 3)^2} = \frac{1(c - 3) - 2c}{(c - 3)^2} = \frac{c - 3 - 2c}{(c - 3)^2} = \frac{-c - 3}{(c - 3)^2} = \frac{-(c + 3)}{(c - 3)^2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{-(c + 3)}{(c - 3)^2} : \frac{c(c + 3)}{4(c - 3)^2} = \frac{-(c + 3)}{(c - 3)^2} \cdot \frac{4(c - 3)^2}{c(c + 3)}$.

Сокращаем $(c+3)$ и $(c-3)^2$:

$\frac{-1}{1} \cdot \frac{4}{c} = -\frac{4}{c}$.

Ответ: $-\frac{4}{c}$

4) $\left( \frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4} \right) \cdot \frac{4m - 16}{2m - 3}$

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель третьей дроби на множители: $m^2 - 3m - 4 = (m - 4)(m + 1)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(m - 4)(m + 1)$:

$\frac{3(m + 1) + 2m(m - 4) + (4m - 6)}{(m - 4)(m + 1)} = \frac{3m + 3 + 2m^2 - 8m + 4m - 6}{(m - 4)(m + 1)} = \frac{2m^2 - m - 3}{(m - 4)(m + 1)}$.

Разложим на множители числитель $2m^2 - m - 3$. Найдем корни уравнения $2m^2 - m - 3 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$m_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$; $m_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$2m^2 - m - 3 = 2(m + 1)(m - \frac{3}{2}) = (m + 1)(2m - 3)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(m + 1)(2m - 3)}{(m - 4)(m + 1)} = \frac{2m - 3}{m - 4}$.

Теперь выполним умножение. Разложим на множители числитель второй дроби: $4m - 16 = 4(m - 4)$.

$\frac{2m - 3}{m - 4} \cdot \frac{4(m - 4)}{2m - 3}$.

Сокращаем одинаковые множители $(m-4)$ и $(2m-3)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4