Номер 22.15, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.15, страница 187.

Условие.

22.15. Разложите на множители многочлен:

1) $a^2 - 14ab + 40b^2$;

2) $12b^2 + bc - 6c^2$.

Решение.

1) $a^2 - 14ab + 40b^2$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Мы ищем два выражения, сумма которых равна коэффициенту при $a$, то есть $-14b$, а произведение равно свободному члену, то есть $40b^2$.

Для этого найдем два числа, сумма которых равна $-14$, а произведение равно $40$. По теореме, обратной теореме Виета, это числа $-4$ и $-10$.

Следовательно, искомые выражения — это $-4b$ и $-10b$.

Проверим:

• Сумма: $(-4b) + (-10b) = -14b$
• Произведение: $(-4b) \cdot (-10b) = 40b^2$

Теперь представим средний член $-14ab$ в виде суммы $-4ab - 10ab$ и применим метод группировки:

$a^2 - 14ab + 40b^2 = a^2 - 4ab - 10ab + 40b^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 4ab) + (-10ab + 40b^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a - 4b) - 10b(a - 4b)$

Вынесем общий множитель $(a - 4b)$ за скобки:

$(a - 4b)(a - 10b)$

Ответ: $(a - 4b)(a - 10b)$.

2) $12b^2 + bc - 6c^2$

Для разложения этого многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Для этого необходимо представить средний член $bc$ в виде суммы двух слагаемых.

Произведение крайних членов равно $(12b^2) \cdot (-6c^2) = -72b^2c^2$. Нам нужно найти два одночлена, произведение которых равно $-72b^2c^2$, а сумма равна среднему члену $bc$.

Найдем два числа, произведение которых равно $-72$, а сумма равна $1$. Этими числами являются $9$ и $-8$.

Следовательно, мы можем представить $bc$ в виде суммы $9bc - 8bc$.

Подставим это в исходный многочлен:

$12b^2 + 9bc - 8bc - 6c^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(12b^2 + 9bc) - (8bc + 6c^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3b(4b + 3c) - 2c(4b + 3c)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(4b + 3c)$:

$(4b + 3c)(3b - 2c)$

Ответ: $(4b + 3c)(3b - 2c)$.