Номер 22.14, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.14, страница 187.

Условие.

22.14. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 6xy + 5y^2;$

2) $a^2 + 5ab - 36b^2;$

3) $3m^2 - 8mn - 3n^2;$

4) $4x^2 - 5xy + y^2.$

Решение.

1) Для разложения многочлена $x^2 - 6xy + 5y^2$ на множители воспользуемся методом группировки. Представим средний член $-6xy$ в виде суммы двух слагаемых. Нужно найти два числа, произведение которых равно коэффициенту при $y^2$ (то есть 5), а сумма равна коэффициенту при $xy$ (то есть -6). Это числа -1 и -5.
$x^2 - 6xy + 5y^2 = x^2 - xy - 5xy + 5y^2$
Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(x^2 - xy) + (-5xy + 5y^2) = x(x - y) - 5y(x - y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$(x - y)(x - 5y)$
Ответ: $(x - y)(x - 5y)$.

2) Разложим многочлен $a^2 + 5ab - 36b^2$ на множители. Для этого представим член $5ab$ в виде суммы двух слагаемых. Ищем два числа, произведение которых равно -36, а сумма равна 5. Этими числами являются 9 и -4.
$a^2 + 5ab - 36b^2 = a^2 + 9ab - 4ab - 36b^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(a^2 + 9ab) + (-4ab - 36b^2) = a(a + 9b) - 4b(a + 9b)$
Вынесем общий множитель $(a+9b)$ за скобки:
$(a + 9b)(a - 4b)$
Ответ: $(a + 9b)(a - 4b)$.

3) Для разложения многочлена $3m^2 - 8mn - 3n^2$ представим средний член $-8mn$ в виде суммы. Для этого найдем два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $m^2$ и $n^2$ (то есть $3 \cdot (-3) = -9$), а сумма равна коэффициенту при $mn$ (то есть -8). Это числа -9 и 1.
$3m^2 - 8mn - 3n^2 = 3m^2 - 9mn + mn - 3n^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(3m^2 - 9mn) + (mn - 3n^2) = 3m(m - 3n) + n(m - 3n)$
Вынесем общий множитель $(m-3n)$ за скобки:
$(m - 3n)(3m + n)$
Ответ: $(m - 3n)(3m + n)$.

4) Разложим многочлен $4x^2 - 5xy + y^2$. Найдем два числа, произведение которых равно произведению крайних коэффициентов ($4 \cdot 1 = 4$), а сумма равна среднему коэффициенту (-5). Это числа -4 и -1. Представим $-5xy$ как $-4xy - xy$.
$4x^2 - 5xy + y^2 = 4x^2 - 4xy - xy + y^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(4x^2 - 4xy) + (-xy + y^2) = 4x(x - y) - y(x - y)$
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$(x - y)(4x - y)$
Ответ: $(x - y)(4x - y)$.