Номер 22.12, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.12, страница 187.

Условие.

22.12. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1}$2) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Решение.

1) $y = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Теперь упростим выражение для функции. Разложим числитель $x^2 - 6x + 5$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $5$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$.

Подставим разложение в исходную функцию:
$y = \frac{(x - 1)(x - 5)}{x - 1}$

При условии $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$y = x - 5$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x - 5$ за исключением одной точки. Эта точка называется "выколотой", ее абсцисса равна $1$.

Найдем ординату этой точки, подставив $x = 1$ в уравнение прямой $y = x - 5$:
$y = 1 - 5 = -4$

Итак, искомый график — это прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(1; -4)$.
Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Например:
- если $x = 0$, то $y = -5$, точка $(0; -5)$;
- если $x = 5$, то $y = 0$, точка $(5; 0)$.
Проводим через эти две точки прямую и отмечаем на ней выколотую точку $(1; -4)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(1; -4)$.

2) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Упростим каждое слагаемое в выражении для функции по отдельности.

Рассмотрим первую дробь $\frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3}$. Разложим ее числитель на множители. Для этого решим уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
Таким образом, $3x^2 - 10x + 3 = 3(x - \frac{1}{3})(x - 3) = (3x - 1)(x - 3)$.
Тогда первая дробь при $x \neq 3$ равна $\frac{(3x - 1)(x - 3)}{x - 3} = 3x - 1$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Тогда вторая дробь при $x \neq -2$ равна $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:
$y = (3x - 1) - (x - 2) = 3x - 1 - x + 2 = 2x + 1$.

Итак, на области определения график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = 2x + 1$. Так как $x \neq 3$ и $x \neq -2$, на графике будут две выколотые точки.

Найдем координаты этих точек, подставив их абсциссы в уравнение прямой $y = 2x + 1$:
- если $x = 3$, то $y = 2(3) + 1 = 7$. Выколотая точка $(3; 7)$.
- если $x = -2$, то $y = 2(-2) + 1 = -3$. Выколотая точка $(-2; -3)$.

Искомый график — это прямая $y = 2x + 1$ с двумя выколотыми точками: $(3; 7)$ и $(-2; -3)$.
Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Например:
- если $x = 0$, то $y = 1$, точка $(0; 1)$;
- если $x = 1$, то $y = 3$, точка $(1; 3)$.
Проводим через эти две точки прямую и отмечаем на ней выколотые точки $(3; 7)$ и $(-2; -3)$ пустыми кружками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2x + 1$ с выколотыми точками $(3; 7)$ и $(-2; -3)$.