Номер 22.16, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.16, страница 187.

Условие.

22.16. Сократите дробь:

1) $\frac{2a^2 + ab - 15b^2}{-2a^2 + 9ab - 10b^2}$,

2) $\frac{6x^2 - 13xy - 5y^2}{12x^2 - 5xy - 3y^2}$.

Решение.

1) $\frac{2a^2 + ab - 15b^2}{-2a^2 + 9ab - 10b^2}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. Оба выражения являются однородными многочленами второй степени, и их можно разложить на множители, решив квадратное уравнение относительно одной из переменных, например, a.

Разложим на множители числитель: $2a^2 + ab - 15b^2$.

Приравняем его к нулю и решим как квадратное уравнение относительно a: $2a^2 + (b)a - 15b^2 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15b^2) = b^2 + 120b^2 = 121b^2 = (11b)^2$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-b + 11b}{4} = \frac{10b}{4} = \frac{5}{2}b$

$a_2 = \frac{-b - 11b}{4} = \frac{-12b}{4} = -3b$

Используя формулу разложения квадратного трехчлена $Ax^2+Bx+C = A(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:

$2a^2 + ab - 15b^2 = 2(a - \frac{5}{2}b)(a - (-3b)) = (2a - 5b)(a + 3b)$.

Теперь разложим на множители знаменатель: $-2a^2 + 9ab - 10b^2$.

Приравняем его к нулю: $-2a^2 + 9ab - 10b^2 = 0$. Для удобства умножим на -1: $2a^2 - 9ab + 10b^2 = 0$.

Дискриминант: $D = (-9b)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10b^2 = 81b^2 - 80b^2 = b^2$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{9b + b}{4} = \frac{10b}{4} = \frac{5}{2}b$

$a_2 = \frac{9b - b}{4} = \frac{8b}{4} = 2b$

Тогда разложение знаменателя будет:

$-2a^2 + 9ab - 10b^2 = -2(a - \frac{5}{2}b)(a - 2b) = -(2a - 5b)(a - 2b) = (2a - 5b)(2b - a)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(2a - 5b)(a + 3b)}{(2a - 5b)(2b - a)}$

Сократим общий множитель $(2a - 5b)$, при условии, что $2a-5b \neq 0$:

$\frac{a + 3b}{2b - a}$

Ответ: $\frac{a + 3b}{2b - a}$.

2) $\frac{6x^2 - 13xy - 5y^2}{12x^2 - 5xy - 3y^2}$

Аналогично предыдущему пункту, разложим на множители числитель и знаменатель, рассматривая их как квадратные трехчлены относительно переменной x.

Разложим числитель $6x^2 - 13xy - 5y^2$. Решим уравнение $6x^2 - (13y)x - 5y^2 = 0$.

Дискриминант: $D = (-13y)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5y^2) = 169y^2 + 120y^2 = 289y^2 = (17y)^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{13y + 17y}{12} = \frac{30y}{12} = \frac{5}{2}y$

$x_2 = \frac{13y - 17y}{12} = \frac{-4y}{12} = -\frac{1}{3}y$

Разложение числителя:

$6x^2 - 13xy - 5y^2 = 6(x - \frac{5}{2}y)(x + \frac{1}{3}y) = 2(x - \frac{5}{2}y) \cdot 3(x + \frac{1}{3}y) = (2x - 5y)(3x + y)$.

Разложим знаменатель $12x^2 - 5xy - 3y^2$. Решим уравнение $12x^2 - (5y)x - 3y^2 = 0$.

Дискриминант: $D = (-5y)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3y^2) = 25y^2 + 144y^2 = 169y^2 = (13y)^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{5y + 13y}{24} = \frac{18y}{24} = \frac{3}{4}y$

$x_2 = \frac{5y - 13y}{24} = \frac{-8y}{24} = -\frac{1}{3}y$

Разложение знаменателя:

$12x^2 - 5xy - 3y^2 = 12(x - \frac{3}{4}y)(x + \frac{1}{3}y) = 4(x - \frac{3}{4}y) \cdot 3(x + \frac{1}{3}y) = (4x - 3y)(3x + y)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(2x - 5y)(3x + y)}{(4x - 3y)(3x + y)}$

Сократим общий множитель $(3x + y)$, при условии, что $3x+y \neq 0$:

$\frac{2x - 5y}{4x - 3y}$

Ответ: $\frac{2x - 5y}{4x - 3y}$.