Номер 22.23, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.23, страница 188.

Условие.

22.23. Один из корней уравнения $x^{12} - abx + a^2 = 0$ больше 2. Докажите, что $|b| > 64$.

Решение.

Пусть $x_0$ — корень данного уравнения $x^{12} - abx + a^2 = 0$. По условию, $x_0 > 2$. Подставив $x_0$ в уравнение, получим верное равенство:$x_0^{12} - abx_0 + a^2 = 0$.

Мы можем рассматривать это равенство как квадратное уравнение относительно переменной $a$:$a^2 - (bx_0)a + x_0^{12} = 0$.

Поскольку по условию существуют действительные параметры $a$ и $b$, данное квадратное уравнение должно иметь хотя бы один действительный корень для $a$. Необходимым и достаточным условием для этого является неотрицательность его дискриминанта $D$.

Найдем дискриминант этого уравнения:$D = (-bx_0)^2 - 4 \cdot 1 \cdot x_0^{12} = b^2x_0^2 - 4x_0^{12}$.

Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство:$b^2x_0^2 - 4x_0^{12} \ge 0$.

Так как по условию $x_0 > 2$, то $x_0 \neq 0$, и мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $x_0^2$:$b^2 - 4x_0^{10} \ge 0$.

Из этого неравенства следует, что:$b^2 \ge 4x_0^{10}$.

Теперь используем вторую часть условия, а именно $x_0 > 2$. Поскольку функция $f(x) = x^{10}$ является строго возрастающей для положительных значений $x$, из $x_0 > 2$ следует, что:$x_0^{10} > 2^{10}$.

Умножив обе части этого строгого неравенства на 4, получим:$4x_0^{10} > 4 \cdot 2^{10}$.

Объединяя неравенства $b^2 \ge 4x_0^{10}$ и $4x_0^{10} > 4 \cdot 2^{10}$, мы получаем строгое неравенство для $b^2$:$b^2 > 4 \cdot 2^{10}$.

Вычислим значение в правой части:$4 \cdot 2^{10} = 2^2 \cdot 2^{10} = 2^{12} = (2^6)^2 = 64^2 = 4096$.

Таким образом, мы приходим к неравенству:$b^2 > 64^2$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:$\sqrt{b^2} > \sqrt{64^2}$,что эквивалентно$|b| > 64$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.