Номер 23.3, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.3, страница 191.

Условие.

23.3. Решите уравнение:

1) $ \frac{2y}{y-3} = \frac{3y+3}{y} $;

2) $ \frac{3x+4}{x-3} = \frac{2x-9}{x+1} $;

3) $ \frac{5x+2}{x-1} = \frac{4x+13}{x+7} $;

4) $ \frac{2x^2-3x+1}{x-1} = 3x-4 $.

Решение.

1)

Исходное уравнение: $\frac{2y}{y-3} = \frac{3y+3}{y}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y-3 \neq 0$ и $y \neq 0$. Следовательно, $y \neq 3$ и $y \neq 0$.

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (умножим крест-накрест):
$2y \cdot y = (3y+3)(y-3)$
$2y^2 = 3y^2 - 9y + 3y - 9$
$2y^2 = 3y^2 - 6y - 9$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3y^2 - 2y^2 - 6y - 9 = 0$
$y^2 - 6y - 9 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$
$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

Вычислим корни:
$y_1 = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$
$y_2 = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как не равны 0 или 3.

Ответ: $3 - 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2}$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{3x+4}{x-3} = \frac{2x-9}{x+1}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Решаем уравнение методом перекрестного умножения:
$(3x+4)(x+1) = (2x-9)(x-3)$
$3x^2 + 3x + 4x + 4 = 2x^2 - 6x - 9x + 27$
$3x^2 + 7x + 4 = 2x^2 - 15x + 27$

Переносим все члены в левую часть и приводим подобные:
$3x^2 - 2x^2 + 7x + 15x + 4 - 27 = 0$
$x^2 + 22x - 23 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -22$
$x_1 \cdot x_2 = -23$
Отсюда следует, что корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -23$.

Проверяем соответствие корней ОДЗ. Оба корня ($1$ и $-23$) не равны $3$ или $-1$, поэтому оба являются решениями уравнения.

Ответ: $-23; 1$.

3)

Исходное уравнение: $\frac{5x+2}{x-1} = \frac{4x+13}{x+7}$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$.

Решаем уравнение методом перекрестного умножения:
$(5x+2)(x+7) = (4x+13)(x-1)$
$5x^2 + 35x + 2x + 14 = 4x^2 - 4x + 13x - 13$
$5x^2 + 37x + 14 = 4x^2 + 9x - 13$

Переносим все члены в левую часть и приводим подобные слагаемые:
$5x^2 - 4x^2 + 37x - 9x + 14 + 13 = 0$
$x^2 + 28x + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -28$
$x_1 \cdot x_2 = 27$
Отсюда следует, что корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -27$.

Проверяем соответствие корней ОДЗ. Оба корня ($-1$ и $-27$) не равны $1$ или $-7$, поэтому оба являются решениями уравнения.

Ответ: $-27; -1$.

4)

Исходное уравнение: $\frac{2x^2-3x+1}{x-1} = 3x-4$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-1)$:
$2x^2-3x+1 = (3x-4)(x-1)$
$2x^2-3x+1 = 3x^2 - 3x - 4x + 4$
$2x^2-3x+1 = 3x^2 - 7x + 4$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$3x^2 - 2x^2 - 7x + 3x + 4 - 1 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, поэтому является посторонним корнем. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$.