Номер 23.5, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.5, страница 191.

Условие.

23.5. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{x-1}{x+3} + \frac{x+1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9};$

2) $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2-5x} = \frac{3-x}{x-5};$

3) $\frac{4x}{x^2+4x+4} - \frac{x-2}{x^2+2x} = \frac{1}{x};$

4) $\frac{6}{x^2-36} - \frac{3}{x^2-6x} + \frac{x-12}{x^2+6x} = 0;$

5) $\frac{x}{x+7} + \frac{x+7}{x-7} = \frac{63-5x}{x^2-49};$

6) $\frac{4}{x^2-10x+25} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{x^2-25}.$

Решение.

1) $\frac{x-1}{x+3} + \frac{x+1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x+3 \neq 0$, $x-3 \neq 0$ и $x^2-9 \neq 0$. Отсюда $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Заметим, что $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Это общий знаменатель для всех дробей в уравнении. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x+18}{x^2-9}$

$\frac{(x-1)(x-3) + (x+1)(x+3)}{x^2-9} = \frac{2x+18}{x^2-9}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$(x-1)(x-3) + (x+1)(x+3) = 2x+18$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 3x - x + 3) + (x^2 + 3x + x + 3) = 2x+18$

$(x^2 - 4x + 3) + (x^2 + 4x + 3) = 2x+18$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 6 = 2x+18$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2

2) $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2-5x} = \frac{3-x}{x-5}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Знаменатель $x^2-5x = x(x-5)$ также не должен быть равен нулю, что дает те же ограничения.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x-5)$:

$\frac{1(x-5)}{x(x-5)} - \frac{10}{x(x-5)} = \frac{(3-x)x}{(x-5)x}$

Приравняем числители:

$x-5 - 10 = (3-x)x$

$x - 15 = 3x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3

3) $\frac{4x}{x^2+4x+4} - \frac{x-2}{x^2+2x} = \frac{1}{x}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ и $x^2+2x = x(x+2)$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Перепишем уравнение:

$\frac{4x}{(x+2)^2} - \frac{x-2}{x(x+2)} = \frac{1}{x}$

Общий знаменатель $x(x+2)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$4x \cdot x - (x-2)(x+2) = 1 \cdot (x+2)^2$

Раскроем скобки:

$4x^2 - (x^2-4) = x^2+4x+4$

$4x^2 - x^2 + 4 = x^2+4x+4$

$3x^2 + 4 = x^2+4x+4$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2x(x-2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2

4) $\frac{6}{x^2-36} - \frac{3}{x^2-6x} + \frac{x-12}{x^2+6x} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2-36=(x-6)(x+6)$, $x^2-6x=x(x-6)$, $x^2+6x=x(x+6)$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.

Общий знаменатель $x(x-6)(x+6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$6x - 3(x+6) + (x-12)(x-6) = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$6x - 3x - 18 + x^2 - 6x - 12x + 72 = 0$

$x^2 - 15x + 54 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 54$

Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 6$), поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 9

5) $\frac{x}{x+7} + \frac{x+7}{x-7} = \frac{63-5x}{x^2-49}$

ОДЗ: $x+7 \neq 0$ и $x-7 \neq 0$, то есть $x \neq -7$ и $x \neq 7$.

Общий знаменатель $x^2-49 = (x-7)(x+7)$. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x(x-7)}{(x+7)(x-7)} + \frac{(x+7)(x+7)}{(x-7)(x+7)} = \frac{63-5x}{x^2-49}$

Приравняем числители:

$x(x-7) + (x+7)^2 = 63-5x$

Раскроем скобки:

$x^2-7x + x^2+14x+49 = 63-5x$

$2x^2+7x+49 = 63-5x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2+12x-14 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2+6x-7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = -7$

Корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -7$), поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1

6) $\frac{4}{x^2-10x+25} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{x^2-25}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2-10x+25 = (x-5)^2$ и $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Перепишем уравнение:

$\frac{4}{(x-5)^2} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{(x-5)(x+5)}$

Общий знаменатель $(x-5)^2(x+5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4(x+5) - 1(x-5)^2 = 10(x-5)$

Раскроем скобки:

$4x+20 - (x^2-10x+25) = 10x-50$

$4x+20-x^2+10x-25 = 10x-50$

$-x^2+14x-5 = 10x-50$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2+4x+45=0$

Умножим на -1:

$x^2-4x-45=0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2-4ac = (-4)^2-4(1)(-45) = 16+180=196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{4+14}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{4-14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -5$), поэтому он является посторонним.

Ответ: 9