Номер 23.6, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.6, страница 191.

Условие.

23.6. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4}$;

2) $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0$;

3) $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x}$;

4) $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0$.

Решение.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2 - 4} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $
$ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
$ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x-2)(x+2) $:
$ \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{16}{(x-2)(x+2)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-2)(x+2) $ при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ), и решим получившееся уравнение:
$ x(x-2) + (x+2)^2 = 16 $
$ x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 16 $
$ 2x^2 + 2x + 4 - 16 = 0 $
$ 2x^2 + 2x - 12 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ x^2 + x - 6 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = -1 $
$ x_1 \cdot x_2 = -6 $
Получаем корни: $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 2 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = -3 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ x_2 = 2 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 2 $), поэтому является посторонним корнем.

Ответ: -3.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0 $.

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$ \frac{2y+3}{2(y+1)} - \frac{y+1}{2(y-1)} + \frac{1}{(y-1)(y+1)} = 0 $
Знаменатели не равны нулю: $ y \neq 1 $ и $ y \neq -1 $.
ОДЗ: $ y \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) $.

Общий знаменатель: $ 2(y-1)(y+1) $. Умножим уравнение на него:
$ (2y+3)(y-1) - (y+1)(y+1) + 1 \cdot 2 = 0 $

Решим получившееся уравнение:
$ (2y^2 - 2y + 3y - 3) - (y^2 + 2y + 1) + 2 = 0 $
$ 2y^2 + y - 3 - y^2 - 2y - 1 + 2 = 0 $
$ y^2 - y - 2 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:
$ y_1 + y_2 = 1 $
$ y_1 \cdot y_2 = -2 $
Получаем корни: $ y_1 = 2 $ и $ y_2 = -1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ y_1 = 2 $ удовлетворяет ОДЗ.
$ y_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ y \neq -1 $), поэтому является посторонним корнем.

Ответ: 2.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{3x}{x^2 - 10x + 25} - \frac{x-3}{x^2 - 5x} = \frac{1}{x} $.

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$ \frac{3x}{(x-5)^2} - \frac{x-3}{x(x-5)} = \frac{1}{x} $
Знаменатели не равны нулю: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 5 $.
ОДЗ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty) $.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $ x(x-5)^2 $:
$ \frac{3x \cdot x}{x(x-5)^2} - \frac{(x-3)(x-5)}{x(x-5)^2} - \frac{(x-5)^2}{x(x-5)^2} = 0 $
$ \frac{3x^2 - (x-3)(x-5) - (x-5)^2}{x(x-5)^2} = 0 $

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:
$ 3x^2 - (x^2 - 5x - 3x + 15) - (x^2 - 10x + 25) = 0 $
$ 3x^2 - (x^2 - 8x + 15) - x^2 + 10x - 25 = 0 $
$ 3x^2 - x^2 + 8x - 15 - x^2 + 10x - 25 = 0 $
$ x^2 + 18x - 40 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484 = 22^2 $
$ x_1 = \frac{-18 - 22}{2} = \frac{-40}{2} = -20 $
$ x_2 = \frac{-18 + 22}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

Оба корня $ x_1 = -20 $ и $ x_2 = 2 $ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -20; 2.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{x-20}{x^2 + 10x} + \frac{10}{x^2 - 100} - \frac{5}{x^2 - 10x} = 0 $.

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$ \frac{x-20}{x(x+10)} + \frac{10}{(x-10)(x+10)} - \frac{5}{x(x-10)} = 0 $
Знаменатели не равны нулю: $ x \neq 0 $, $ x \neq -10 $, $ x \neq 10 $.
ОДЗ: $ x \in (-\infty; -10) \cup (-10; 0) \cup (0; 10) \cup (10; +\infty) $.

Общий знаменатель: $ x(x-10)(x+10) $. Умножим уравнение на него:
$ (x-20)(x-10) + 10x - 5(x+10) = 0 $

Решим получившееся уравнение:
$ x^2 - 10x - 20x + 200 + 10x - 5x - 50 = 0 $
$ x^2 - 25x + 150 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 25 $
$ x_1 \cdot x_2 = 150 $
Подбором находим корни: $ x_1 = 10 $ и $ x_2 = 15 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = 10 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 10 $), поэтому является посторонним корнем.
$ x_2 = 15 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 15.