Номер 23.10, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.10, страница 192.

Условие.

23.10. Решите уравнение:

1) $\frac{x-1}{x+1} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{x-3}{x+3} - \frac{x-4}{x+4}$

2) $\frac{x^2+2x+2}{x+1} + \frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{x^2+4x+6}{x+2} + \frac{x^2+6x+12}{x+3}$

Решение.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{x-3}{x+3} - \frac{x-4}{x+4} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3, x \neq -4 $.

Преобразуем каждую дробь в уравнении, выделив целую часть. Для этого представим числитель как знаменатель плюс или минус некоторое число.

$ \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1} $

$ \frac{x-2}{x+2} = \frac{x+2-4}{x+2} = 1 - \frac{4}{x+2} $

$ \frac{x-3}{x+3} = \frac{x+3-6}{x+3} = 1 - \frac{6}{x+3} $

$ \frac{x-4}{x+4} = \frac{x+4-8}{x+4} = 1 - \frac{8}{x+4} $

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ (1 - \frac{2}{x+1}) - (1 - \frac{4}{x+2}) = (1 - \frac{6}{x+3}) - (1 - \frac{8}{x+4}) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 1 - \frac{2}{x+1} - 1 + \frac{4}{x+2} = 1 - \frac{6}{x+3} - 1 + \frac{8}{x+4} $

$ \frac{4}{x+2} - \frac{2}{x+1} = \frac{8}{x+4} - \frac{6}{x+3} $

Приведем к общему знаменателю левую и правую части уравнения:

Левая часть: $ \frac{4(x+1) - 2(x+2)}{(x+2)(x+1)} = \frac{4x+4 - 2x-4}{x^2+3x+2} = \frac{2x}{x^2+3x+2} $

Правая часть: $ \frac{8(x+3) - 6(x+4)}{(x+4)(x+3)} = \frac{8x+24 - 6x-24}{x^2+7x+12} = \frac{2x}{x^2+7x+12} $

Таким образом, уравнение принимает вид:

$ \frac{2x}{x^2+3x+2} = \frac{2x}{x^2+7x+12} $

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $ 2x $ за скобки:

$ 2x \left( \frac{1}{x^2+3x+2} - \frac{1}{x^2+7x+12} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1. $ 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2. $ \frac{1}{x^2+3x+2} - \frac{1}{x^2+7x+12} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x^2+3x+2} = \frac{1}{x^2+7x+12} $

Это равенство возможно, если знаменатели равны:

$ x^2+3x+2 = x^2+7x+12 $

$ 3x+2 = 7x+12 $

$ 4x = -10 $

$ x_2 = -\frac{10}{4} = -2.5 $. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0; -2.5$.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2+2x+2}{x+1} + \frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{x^2+4x+6}{x+2} + \frac{x^2+6x+12}{x+3} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3, x \neq -4 $.

Упростим каждую дробь, выделив целую часть. Для этого в числителе выделим полный квадрат, связанный со знаменателем:

$ \frac{x^2+2x+2}{x+1} = \frac{(x^2+2x+1)+1}{x+1} = \frac{(x+1)^2+1}{x+1} = x+1 + \frac{1}{x+1} $

$ \frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{(x^2+8x+16)+4}{x+4} = \frac{(x+4)^2+4}{x+4} = x+4 + \frac{4}{x+4} $

$ \frac{x^2+4x+6}{x+2} = \frac{(x^2+4x+4)+2}{x+2} = \frac{(x+2)^2+2}{x+2} = x+2 + \frac{2}{x+2} $

$ \frac{x^2+6x+12}{x+3} = \frac{(x^2+6x+9)+3}{x+3} = \frac{(x+3)^2+3}{x+3} = x+3 + \frac{3}{x+3} $

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$ (x+1 + \frac{1}{x+1}) + (x+4 + \frac{4}{x+4}) = (x+2 + \frac{2}{x+2}) + (x+3 + \frac{3}{x+3}) $

Упростим обе части уравнения:

$ 2x+5 + \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x+4} = 2x+5 + \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} $

Вычтем $ 2x+5 $ из обеих частей:

$ \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x+4} = \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} $

Сгруппируем слагаемые, чтобы упростить дальнейшие вычисления:

$ \frac{4}{x+4} - \frac{3}{x+3} = \frac{2}{x+2} - \frac{1}{x+1} $

Приведем к общему знаменателю левую и правую части:

Левая часть: $ \frac{4(x+3) - 3(x+4)}{(x+4)(x+3)} = \frac{4x+12-3x-12}{x^2+7x+12} = \frac{x}{x^2+7x+12} $

Правая часть: $ \frac{2(x+1) - 1(x+2)}{(x+2)(x+1)} = \frac{2x+2-x-2}{x^2+3x+2} = \frac{x}{x^2+3x+2} $

Получим уравнение:

$ \frac{x}{x^2+7x+12} = \frac{x}{x^2+3x+2} $

Данное уравнение решается аналогично уравнению из пункта 1.

$ x \left( \frac{1}{x^2+7x+12} - \frac{1}{x^2+3x+2} \right) = 0 $

1. $ x_1 = 0 $. Корень входит в ОДЗ.

2. $ \frac{1}{x^2+7x+12} = \frac{1}{x^2+3x+2} \Rightarrow x^2+7x+12 = x^2+3x+2 $

$ 4x = -10 \Rightarrow x_2 = -2.5 $. Корень входит в ОДЗ.

Ответ: $0; -2.5$.