Номер 23.14, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.14, страница 192.

Условие.

23.14. При каких значениях параметра $a$ имеет единственный корень уравнение:

1) $\frac{x^2 - ax + 5}{x - 1} = 0;$

2) $\frac{x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 3a - 2}{x^2 - 6x + 5} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (a + 4)x + 3a + 3}{\sqrt{x - 2}} = 0?$}

Решение.

1)

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - ax + 5 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases} $

Из второго условия следует, что $x \neq 1$.

Исходное уравнение имеет единственный корень в двух случаях.

Случай 1: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ имеет единственный корень (т.е. его дискриминант равен нулю), и этот корень не равен 1.

Найдем дискриминант: $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = a^2 - 20$.

$D = 0 \implies a^2 - 20 = 0 \implies a^2 = 20 \implies a = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}$.

При $D=0$ корень уравнения $x = \frac{a}{2}$.

Если $a = 2\sqrt{5}$, то $x = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \neq 1$, это значение параметра нам подходит.

Если $a = -2\sqrt{5}$, то $x = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$. Так как $-\sqrt{5} \neq 1$, это значение параметра нам тоже подходит.

Случай 2: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ имеет два различных корня (т.е. $D > 0$), но один из этих корней равен 1.

Подставим $x=1$ в уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$:

$1^2 - a \cdot 1 + 5 = 0$

$6 - a = 0 \implies a = 6$.

Проверим, что при $a=6$ дискриминант положителен:

$D = 6^2 - 20 = 36 - 20 = 16 > 0$.

Условие выполняется. При $a=6$ уравнение числителя $x^2 - 6x + 5 = 0$ имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Корень $x=1$ не является решением исходного уравнения, так как он обращает знаменатель в ноль. Единственным решением остается $x=5$. Следовательно, значение $a=6$ нам подходит.

Объединяя оба случая, получаем все значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}; 6\}$.

2)

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - (3a+1)x + 2a^2 + 3a - 2 = 0, \\ x^2 - 6x + 5 \neq 0. \end{cases} $

Найдем недопустимые значения $x$ из условия $x^2 - 6x + 5 \neq 0$:

$x^2 - 6x + 5 = 0 \implies (x-1)(x-5) = 0$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 5$.

Теперь решим уравнение числителя: $x^2 - (3a+1)x + 2a^2 + 3a - 2 = 0$.

Найдем его дискриминант $D_x$:

$D_x = (3a+1)^2 - 4(2a^2 + 3a - 2) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 12a + 8 = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.

Корни уравнения числителя:

$x = \frac{3a+1 \pm \sqrt{(a-3)^2}}{2} = \frac{3a+1 \pm (a-3)}{2}$.

$x_1 = \frac{3a+1 + (a-3)}{2} = \frac{4a-2}{2} = 2a-1$.

$x_2 = \frac{3a+1 - (a-3)}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$.

Исходное уравнение имеет единственный корень, если из двух корней числителя $\{2a-1, a+2\}$ ровно один является недопустимым значением (1 или 5).

Случай 1: Корни числителя совпадают.

$2a-1 = a+2 \implies a = 3$.

При $a=3$ числитель имеет единственный корень $x = 2(3)-1 = 5$. Однако, $x \neq 5$, поэтому при $a=3$ исходное уравнение корней не имеет.

Случай 2: Корни числителя различны ($a \neq 3$), и ровно один из них равен 1 или 5.

а) Один корень равен 1, другой — нет.

Если $2a-1 = 1 \implies 2a=2 \implies a=1$. Тогда второй корень $a+2 = 1+2=3$. Корни числителя $\{1, 3\}$. Корень $x=1$ отбрасывается, остается единственный корень $x=3$. Значение $a=1$ подходит.

Если $a+2 = 1 \implies a=-1$. Тогда второй корень $2a-1 = 2(-1)-1=-3$. Корни числителя $\{1, -3\}$. Корень $x=1$ отбрасывается, остается единственный корень $x=-3$. Значение $a=-1$ подходит.

б) Один корень равен 5, другой — нет.

Если $2a-1 = 5 \implies 2a=6 \implies a=3$. Этот случай уже рассмотрен, корней нет.

Если $a+2 = 5 \implies a=3$. Этот случай уже рассмотрен, корней нет.

в) Оба корня числителя являются недопустимыми. Это возможно, если $\{2a-1, a+2\} = \{1, 5\}$ или если оба корня равны 1 или 5. Мы выяснили, что при $a=3$ оба корня равны 5, и решений нет. Системы $\{2a-1=1, a+2=5\}$ и $\{2a-1=5, a+2=1\}$ не имеют решений.

Итак, единственное решение получается только при $a=1$ и $a=-1$.

Ответ: $a \in \{-1; 1\}$.

3)

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - (a+4)x + 3a + 3 = 0, \\ \sqrt{x-2} > 0. \end{cases} $

Из второго условия следует $x-2 > 0$, то есть $x > 2$.

Следовательно, нам нужно найти значения параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - (a+4)x + 3a + 3 = 0$ имеет ровно один корень, больший 2.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (a+4)^2 - 4(3a+3) = a^2 + 8a + 16 - 12a - 12 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{a+4 \pm \sqrt{(a-2)^2}}{2} = \frac{a+4 \pm (a-2)}{2}$.

$x_1 = \frac{a+4 + (a-2)}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

$x_2 = \frac{a+4 - (a-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Корни числителя: $x_1 = a+1$ и $x_2 = 3$.

Один из корней, $x_2=3$, всегда удовлетворяет условию $x > 2$.

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, второй корень $x_1=a+1$ должен либо совпадать с $x_2=3$, либо не удовлетворять условию $x > 2$.

Случай 1: Корни совпадают.

$a+1 = 3 \implies a=2$.

При $a=2$ числитель имеет единственный корень $x=3$. Так как $3 > 2$, это значение $a$ нам подходит.

Случай 2: Корни различны ($a \neq 2$), и корень $x_1 = a+1$ не удовлетворяет условию $x > 2$.

Это означает, что $a+1 \le 2$, откуда $a \le 1$.

При $a \le 1$ корни числителя $a+1$ и $3$ различны. Корень $x=3$ удовлетворяет условию $x>2$, а корень $x=a+1$ не удовлетворяет, так как $a+1 \le 2$. Таким образом, при $a \in (-\infty, 1]$ исходное уравнение имеет единственный корень $x=3$.

Объединяя оба случая, получаем все искомые значения $a$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup \{2\}$.