Номер 23.7, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.7, страница 191.

Условие.

23.7. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x - 10}{x^3 + 1} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1} $

2) $ \frac{6}{x^2 - 4x + 3} + \frac{5 - 2x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3} $

3) $ \frac{4x - 6}{x + 2} - \frac{x}{x + 1} = \frac{14}{x^2 + 3x + 2} $

4) $ \frac{x}{x^2 - 4} - \frac{3x - 1}{x^2 + x - 6} = \frac{2}{x^2 + 5x + 6} $

Решение.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{2x-10}{x^3+1} + \frac{4}{x+1} = \frac{5x-1}{x^2-x+1} $

Разложим знаменатель $ x^3+1 $ на множители по формуле суммы кубов: $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $.

$ x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{4}{x+1} = \frac{5x-1}{x^2-x+1} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю. $ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $. Выражение $ x^2-x+1 $ не равно нулю ни при каких действительных $x$, так как его дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -1 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x+1)(x^2-x+1) $:

$ 2x-10 + 4(x^2-x+1) = (5x-1)(x+1) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 2x-10 + 4x^2-4x+4 = 5x^2+5x-x-1 $

$ 4x^2-2x-6 = 5x^2+4x-1 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 5x^2 - 4x^2 + 4x + 2x - 1 + 6 = 0 $

$ x^2+6x+5=0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = -6 $

$ x_1 \cdot x_2 = 5 $

Корни уравнения: $ x_1 = -1 $, $ x_2 = -5 $.

Сравним корни с ОДЗ. Корень $ x_1 = -1 $ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = -5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -5

2)

Исходное уравнение: $ \frac{6}{x^2-4x+3} + \frac{5-2x}{x-1} = \frac{3}{x-3} $

Разложим знаменатель $ x^2-4x+3 $ на множители. Корни уравнения $ x^2-4x+3=0 $ - это $ x=1 $ и $ x=3 $. Следовательно, $ x^2-4x+3 = (x-1)(x-3) $.

Уравнение принимает вид:

$ \frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{5-2x}{x-1} = \frac{3}{x-3} $

ОДЗ: $ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $ и $ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-1)(x-3) $:

$ 6 + (5-2x)(x-3) = 3(x-1) $

Раскроем скобки:

$ 6 + 5x - 15 - 2x^2 + 6x = 3x - 3 $

$ -2x^2 + 11x - 9 = 3x - 3 $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $ x^2 $ был положительным:

$ 0 = 2x^2 - 11x + 3x + 9 - 3 $

$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

Корни этого уравнения $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $.

Оба корня не входят в ОДЗ ($ x \neq 1, x \neq 3 $), поэтому являются посторонними. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

3)

Исходное уравнение: $ \frac{4x-6}{x+2} - \frac{x}{x+1} = \frac{14}{x^2+3x+2} $

Разложим знаменатель $ x^2+3x+2 $ на множители. Корни уравнения $ x^2+3x+2=0 $ - это $ x=-1 $ и $ x=-2 $. Следовательно, $ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) $.

Уравнение принимает вид:

$ \frac{4x-6}{x+2} - \frac{x}{x+1} = \frac{14}{(x+1)(x+2)} $

ОДЗ: $ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $ и $ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x+1)(x+2) $:

$ (4x-6)(x+1) - x(x+2) = 14 $

Раскроем скобки:

$ 4x^2 + 4x - 6x - 6 - x^2 - 2x = 14 $

$ 3x^2 - 4x - 6 = 14 $

Перенесем 14 в левую часть:

$ 3x^2 - 4x - 20 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $

Сравним корни с ОДЗ. Корень $ x_1 = \frac{10}{3} $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = -2 $ не входит в ОДЗ, является посторонним.

Ответ: $ \frac{10}{3} $

4)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x^2-4} - \frac{3x-1}{x^2+x-6} = \frac{2}{x^2+5x+6} $

Разложим все знаменатели на множители:

$ x^2-4 = (x-2)(x+2) $

$ x^2+x-6 = (x+3)(x-2) $ (корни -3 и 2)

$ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) $ (корни -2 и -3)

Уравнение принимает вид:

$ \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{3x-1}{(x+3)(x-2)} = \frac{2}{(x+2)(x+3)} $

ОДЗ: $ x \neq 2, x \neq -2, x \neq -3 $.

Общий знаменатель: $ (x-2)(x+2)(x+3) $. Умножим на него обе части уравнения:

$ x(x+3) - (3x-1)(x+2) = 2(x-2) $

Раскроем скобки:

$ x^2+3x - (3x^2+6x-x-2) = 2x-4 $

$ x^2+3x - (3x^2+5x-2) = 2x-4 $

$ x^2+3x-3x^2-5x+2 = 2x-4 $

$ -2x^2-2x+2 = 2x-4 $

Перенесем все в правую часть:

$ 0 = 2x^2+2x+2x-4-2 $

$ 2x^2+4x-6 = 0 $

Разделим на 2:

$ x^2+2x-3 = 0 $

По теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = -2 $

$ x_1 \cdot x_2 = -3 $

Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -3 $.

Сравним корни с ОДЗ. Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_2 = -3 $ не входит в ОДЗ, является посторонним.

Ответ: 1