Номер 22.27, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.27, страница 188.

Условие.

22.27. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $|x^2 - 4x + 3|(x - a) \ge 0;$

2) $|x^2 + 3x + 2|(x - a) < 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $|x^2 - 4x + 3|(x-a) \ge 0$.

Множитель $|x^2 - 4x + 3|$ по определению модуля всегда неотрицателен, то есть $|x^2 - 4x + 3| \ge 0$ для любых $x$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $|x^2 - 4x + 3| = 0$. Это происходит, когда $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корнями этого квадратного уравнения являются $x=1$ и $x=3$. В этих точках исходное неравенство принимает вид $0 \cdot (x-a) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=1$ и $x=3$ являются решениями при любом значении параметра $a$.

2. Если $|x^2 - 4x + 3| > 0$. Это происходит при всех $x$, кроме $x=1$ и $x=3$. Так как первый множитель в этом случае строго положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства. Получаем:

$x - a \ge 0$

$x \ge a$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что множество решений неравенства — это $\{1, 3\} \cup [a, \infty)$.

Теперь необходимо проанализировать вид этого множества в зависимости от значения параметра $a$.

• Если $a \le 1$, то оба числа $1$ и $3$ принадлежат промежутку $[a, \infty)$. В этом случае объединение множеств дает просто промежуток $[a, \infty)$.
• Если $1 < a \le 3$, то число $3$ принадлежит промежутку $[a, \infty)$, а число $1$ — нет. Таким образом, решение представляет собой объединение точки и промежутка: $\{1\} \cup [a, \infty)$.
• Если $a > 3$, то ни $1$, ни $3$ не принадлежат промежутку $[a, \infty)$. Решением будет объединение двух изолированных точек и промежутка: $\{1, 3\} \cup [a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in [a, \infty)$; если $1 < a \le 3$, то $x \in \{1\} \cup [a, \infty)$; если $a > 3$, то $x \in \{1, 3\} \cup [a, \infty)$.

2) Решим неравенство $|x^2 + 3x + 2|(x-a) < 0$.

Множитель $|x^2 + 3x + 2|$ всегда неотрицателен. Произведение двух множителей может быть отрицательным только в том случае, если они имеют разные знаки. Поскольку первый множитель не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а второй — строго отрицательным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} |x^2 + 3x + 2| > 0 \\ x - a < 0 \end{cases}$

Первое неравенство $|x^2 + 3x + 2| > 0$ выполняется, когда $x^2 + 3x + 2 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Таким образом, первое неравенство системы выполняется при $x \neq -2$ и $x \neq -1$.

Второе неравенство $x - a < 0$ равносильно $x < a$.

Итак, решение исходного неравенства — это все значения $x$, удовлетворяющие условию $x < a$, за исключением точек $x=-2$ и $x=-1$, если они попадают в этот промежуток. То есть, $x \in (-\infty, a) \setminus \{-1, -2\}$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от положения точки $a$ относительно точек $-2$ и $-1$.

• Если $a \le -2$, то промежуток $(-\infty, a)$ не содержит ни точки $-2$, ни точки $-1$. Следовательно, решение — это весь промежуток $(-\infty, a)$.
• Если $-2 < a \le -1$, то промежуток $(-\infty, a)$ содержит точку $-2$, но не содержит точку $-1$. Точку $x=-2$ нужно исключить. Решением будет $(-\infty, -2) \cup (-2, a)$.
• Если $a > -1$, то промежуток $(-\infty, a)$ содержит обе точки: $-2$ и $-1$. Обе эти точки нужно исключить. Решением будет $(-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, a)$.

Ответ: если $a \le -2$, то $x \in (-\infty, a)$; если $-2 < a \le -1$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, a)$; если $a > -1$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, a)$.