Номер 22.20, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.20, страница 188.

Условие.

22.20. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение $(a^2 + 7a - 8) x = a^2 + 16a + 64$.

Решение.

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Его вид: $Kx = B$, где $K = a^2 + 7a - 8$ и $B = a^2 + 16a + 64$. Решение зависит от значения параметра $a$, которое определяет коэффициент $K$. Для анализа разложим на множители коэффициент при $x$ и правую часть уравнения.

Коэффициент при $x$: $a^2 + 7a - 8 = (a - 1)(a + 8)$.

Правая часть уравнения: $a^2 + 16a + 64 = (a + 8)^2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде: $(a - 1)(a + 8)x = (a + 8)^2$.

Рассмотрим возможные случаи в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если коэффициент при $x$ равен нулю.

Это происходит, когда $(a - 1)(a + 8) = 0$, то есть при $a = 1$ или $a = -8$.

а) При $a=1$:

Подставим $a=1$ в уравнение:
$(1 - 1)(1 + 8)x = (1 + 8)^2$
$0 \cdot 9 \cdot x = 9^2$
$0 \cdot x = 81$
Данное равенство неверно, следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.

б) При $a=-8$:

Подставим $a=-8$ в уравнение:
$(-8 - 1)(-8 + 8)x = (-8 + 8)^2$
$-9 \cdot 0 \cdot x = 0^2$
$0 \cdot x = 0$
Данное равенство верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ — любое действительное число.

2. Если коэффициент при $x$ не равен нулю.

Это условие выполняется при $a \neq 1$ и $a \neq -8$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на выражение $(a - 1)(a + 8)$, которое не равно нулю.

$x = \frac{(a + 8)^2}{(a - 1)(a + 8)}$

Поскольку $a \neq -8$, то $a + 8 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a+8)$:

$x = \frac{a+8}{a-1}$
Ответ: $x = \frac{a+8}{a-1}$.

Итоговый ответ:

При $a = 1$ — решений нет.

При $a = -8$ — $x$ является любым действительным числом.

При $a \neq 1$ и $a \neq -8$ — $x = \frac{a+8}{a-1}$.