Номер 22.19, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.19, страница 188.

Условие.

22.19. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $(a^2 - a - 6)x = a^2 - 9;$

2) $(a^2 - 8a + 7)x = 2a^2 - 13a - 7.$

Решение.

1)

Дано линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметром $a$: $(a^2 - a - 6)x = a^2 - 9$.

Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента при $x$. Представим уравнение в виде $A(a) \cdot x = B(a)$, где $A(a) = a^2 - a - 6$ и $B(a) = a^2 - 9$.

Разложим на множители выражения $A(a)$ и $B(a)$.

Для $A(a) = a^2 - a - 6$, найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - a - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются числа 3 и -2. Тогда $A(a) = (a - 3)(a + 2)$.

Для $B(a) = a^2 - 9$, используем формулу разности квадратов: $B(a) = (a - 3)(a + 3)$.

Теперь уравнение имеет вид: $(a - 3)(a + 2)x = (a - 3)(a + 3)$.

Рассмотрим возможные случаи для параметра $a$.

Случай 1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $A(a) = (a - 3)(a + 2) \neq 0$.

Это условие выполняется, если $a \neq 3$ и $a \neq -2$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 3)(a + 2)$:

$x = \frac{(a - 3)(a + 3)}{(a - 3)(a + 2)} = \frac{a + 3}{a + 2}$.

Случай 2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $A(a) = (a - 3)(a + 2) = 0$.

Это происходит при $a = 3$ или $a = -2$.

а) Если $a = 3$, подставим это значение в исходное уравнение:

$(3 - 3)(3 + 2)x = (3 - 3)(3 + 3)$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного числа $x$.

б) Если $a = -2$, подставим это значение в исходное уравнение:

$(-2 - 3)(-2 + 2)x = (-2 - 3)(-2 + 3)$

$(-5) \cdot 0 \cdot x = (-5) \cdot 1$

$0 \cdot x = -5$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, в этом случае уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = 3$, то $x$ — любое число; если $a = -2$, то корней нет; если $a \neq 3$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{a+3}{a+2}$.

2)

Дано линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметром $a$: $(a^2 - 8a + 7)x = 2a^2 - 13a - 7$.

Представим уравнение в виде $A(a) \cdot x = B(a)$, где $A(a) = a^2 - 8a + 7$ и $B(a) = 2a^2 - 13a - 7$.

Разложим на множители выражения $A(a)$ и $B(a)$.

Для $A(a) = a^2 - 8a + 7$, найдем корни трехчлена $a^2 - 8a + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Корнями являются числа 1 и 7. Тогда $A(a) = (a - 1)(a - 7)$.

Для $B(a) = 2a^2 - 13a - 7$, найдем корни трехчлена $2a^2 - 13a - 7 = 0$.

Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.

Корни: $a_1 = \frac{13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$.

Тогда $B(a) = 2(a - 7)(a + \frac{1}{2}) = (a - 7)(2a + 1)$.

Теперь уравнение имеет вид: $(a - 1)(a - 7)x = (a - 7)(2a + 1)$.

Рассмотрим возможные случаи для параметра $a$.

Случай 1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $A(a) = (a - 1)(a - 7) \neq 0$.

Это условие выполняется, если $a \neq 1$ и $a \neq 7$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 1)(a - 7)$:

$x = \frac{(a - 7)(2a + 1)}{(a - 1)(a - 7)} = \frac{2a + 1}{a - 1}$.

Случай 2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $A(a) = (a - 1)(a - 7) = 0$.

Это происходит при $a = 1$ или $a = 7$.

а) Если $a = 7$, подставим это значение в уравнение:

$(7 - 1)(7 - 7)x = (7 - 7)(2 \cdot 7 + 1)$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного числа $x$.

б) Если $a = 1$, подставим это значение в уравнение:

$(1 - 1)(1 - 7)x = (1 - 7)(2 \cdot 1 + 1)$

$0 \cdot (-6) \cdot x = (-6) \cdot 3$

$0 \cdot x = -18$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, в этом случае уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = 7$, то $x$ — любое число; если $a = 1$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x = \frac{2a+1}{a-1}$.