Номер 22.19, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.19, страница 188.
№22.19 (с. 188)
Условие. №22.19 (с. 188)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        22.19. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:
1) $(a^2 - a - 6)x = a^2 - 9;$
2) $(a^2 - 8a + 7)x = 2a^2 - 13a - 7.$
Решение. №22.19 (с. 188)
1)
Дано линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметром $a$: $(a^2 - a - 6)x = a^2 - 9$.
Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента при $x$. Представим уравнение в виде $A(a) \cdot x = B(a)$, где $A(a) = a^2 - a - 6$ и $B(a) = a^2 - 9$.
Разложим на множители выражения $A(a)$ и $B(a)$.
Для $A(a) = a^2 - a - 6$, найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - a - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются числа 3 и -2. Тогда $A(a) = (a - 3)(a + 2)$.
Для $B(a) = a^2 - 9$, используем формулу разности квадратов: $B(a) = (a - 3)(a + 3)$.
Теперь уравнение имеет вид: $(a - 3)(a + 2)x = (a - 3)(a + 3)$.
Рассмотрим возможные случаи для параметра $a$.
Случай 1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $A(a) = (a - 3)(a + 2) \neq 0$.
Это условие выполняется, если $a \neq 3$ и $a \neq -2$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 3)(a + 2)$:
$x = \frac{(a - 3)(a + 3)}{(a - 3)(a + 2)} = \frac{a + 3}{a + 2}$.
Случай 2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $A(a) = (a - 3)(a + 2) = 0$.
Это происходит при $a = 3$ или $a = -2$.
а) Если $a = 3$, подставим это значение в исходное уравнение:
$(3 - 3)(3 + 2)x = (3 - 3)(3 + 3)$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно для любого действительного числа $x$.
б) Если $a = -2$, подставим это значение в исходное уравнение:
$(-2 - 3)(-2 + 2)x = (-2 - 3)(-2 + 3)$
$(-5) \cdot 0 \cdot x = (-5) \cdot 1$
$0 \cdot x = -5$
Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, в этом случае уравнение не имеет корней.
Ответ: если $a = 3$, то $x$ — любое число; если $a = -2$, то корней нет; если $a \neq 3$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{a+3}{a+2}$.
2)
Дано линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметром $a$: $(a^2 - 8a + 7)x = 2a^2 - 13a - 7$.
Представим уравнение в виде $A(a) \cdot x = B(a)$, где $A(a) = a^2 - 8a + 7$ и $B(a) = 2a^2 - 13a - 7$.
Разложим на множители выражения $A(a)$ и $B(a)$.
Для $A(a) = a^2 - 8a + 7$, найдем корни трехчлена $a^2 - 8a + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Корнями являются числа 1 и 7. Тогда $A(a) = (a - 1)(a - 7)$.
Для $B(a) = 2a^2 - 13a - 7$, найдем корни трехчлена $2a^2 - 13a - 7 = 0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.
Корни: $a_1 = \frac{13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$.
Тогда $B(a) = 2(a - 7)(a + \frac{1}{2}) = (a - 7)(2a + 1)$.
Теперь уравнение имеет вид: $(a - 1)(a - 7)x = (a - 7)(2a + 1)$.
Рассмотрим возможные случаи для параметра $a$.
Случай 1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $A(a) = (a - 1)(a - 7) \neq 0$.
Это условие выполняется, если $a \neq 1$ и $a \neq 7$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 1)(a - 7)$:
$x = \frac{(a - 7)(2a + 1)}{(a - 1)(a - 7)} = \frac{2a + 1}{a - 1}$.
Случай 2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $A(a) = (a - 1)(a - 7) = 0$.
Это происходит при $a = 1$ или $a = 7$.
а) Если $a = 7$, подставим это значение в уравнение:
$(7 - 1)(7 - 7)x = (7 - 7)(2 \cdot 7 + 1)$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно для любого действительного числа $x$.
б) Если $a = 1$, подставим это значение в уравнение:
$(1 - 1)(1 - 7)x = (1 - 7)(2 \cdot 1 + 1)$
$0 \cdot (-6) \cdot x = (-6) \cdot 3$
$0 \cdot x = -18$
Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, в этом случае уравнение не имеет корней.
Ответ: если $a = 7$, то $x$ — любое число; если $a = 1$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x = \frac{2a+1}{a-1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 22.19 расположенного на странице 188 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22.19 (с. 188), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    