Номер 22.24, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.24, страница 188.

Условие.

22.24. Решите уравнение $x^3 - (\sqrt{2} + 1)x^2 + 2 = 0$.

Решение.

Исходное уравнение: $x^3 - (\sqrt{2} + 1)x^2 + 2 = 0$.
Раскроем скобки в коэффициенте при $x^2$:
$x^3 - \sqrt{2}x^2 - x^2 + 2 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:
$(x^3 - \sqrt{2}x^2) - (x^2 - 2) = 0$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$. Во второй группе представим $2$ как $(\sqrt{2})^2$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2(x - \sqrt{2}) - (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$.
Теперь мы видим общий множитель $(x - \sqrt{2})$, который можно вынести за скобки:
$(x - \sqrt{2})[x^2 - (x + \sqrt{2})] = 0$,
$(x - \sqrt{2})(x^2 - x - \sqrt{2}) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:
1) $x - \sqrt{2} = 0$.
Отсюда находим первый корень: $x_1 = \sqrt{2}$.
2) $x^2 - x - \sqrt{2} = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-\sqrt{2}$. Решим его, вычислив дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{2}) = 1 + 4\sqrt{2}$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{2,3} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\sqrt{2}}}{2}$.
Таким образом, мы нашли еще два корня: $x_2 = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\sqrt{2}}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - \sqrt{1 + 4\sqrt{2}}}{2}$.
Итак, исходное кубическое уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $ \sqrt{2}; \frac{1 + \sqrt{1 + 4\sqrt{2}}}{2}; \frac{1 - \sqrt{1 + 4\sqrt{2}}}{2} $.