Номер 23.4, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.4, страница 191.

Условие.

23.4. Найдите корни уравнения:

1) $ \frac{2x - 13}{x - 6} = \frac{x + 6}{x} $;

2) $ \frac{3x^2 - 4x - 20}{x + 2} = 2x - 5. $

Решение.

1)

Дано уравнение: $\frac{2x - 13}{x - 6} = \frac{x + 6}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:
$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$
$x \neq 0$

Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (умножим крест-накрест):
$x(2x - 13) = (x - 6)(x + 6)$

Раскроем скобки. В левой части умножим $x$ на каждый член в скобках. В правой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$2x^2 - 13x = x^2 - 6^2$
$2x^2 - 13x = x^2 - 36$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - x^2 - 13x + 36 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 6$ и $x \neq 0$). Оба корня, 9 и 4, входят в область допустимых значений.

Ответ: 4; 9.

2)

Дано уравнение: $\frac{3x^2 - 4x - 20}{x + 2} = 2x - 5$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x + 2)$, чтобы избавиться от дроби:
$3x^2 - 4x - 20 = (2x - 5)(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$3x^2 - 4x - 20 = 2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 5 \cdot x - 5 \cdot 2$
$3x^2 - 4x - 20 = 2x^2 + 4x - 5x - 10$
$3x^2 - 4x - 20 = 2x^2 - x - 10$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$(3x^2 - 2x^2) + (-4x + x) + (-20 + 10) = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x \neq -2$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x = -2$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем и не является решением уравнения.

Ответ: 5.