Номер 23.2, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.2, страница 191.

Условие.

23.2. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0;$

2) $\frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0.$

Решение.

1) $\frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 9x - 10 = 0, \\ x^2 - 1 \neq 0. \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы: $x^2 - 9x - 10 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

Таким образом, числитель обращается в ноль при $x = 10$ и $x = -1$.

2. Решим второе условие системы (найдем область допустимых значений, ОДЗ): $x^2 - 1 \neq 0$.

$x^2 \neq 1$

$x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3. Совместим полученные корни с ОДЗ.

Корень $x = 10$ удовлетворяет условию $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию $x \neq -1$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x = 10$.

Ответ: 10.

2) $\frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 5x - 14 = 0, \\ x^2 - 6x + 8 \neq 0. \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $x^2 + 5x - 14 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = -14$

Подбором находим корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Корни числителя: $x = -7$ и $x = 2$.

2. Найдем значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю: $x^2 - 6x + 8 \neq 0$.

Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Корнями являются $x = 2$ и $x = 4$.

Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

3. Исключим из корней числителя те, которые не входят в ОДЗ.

Корень $x = -7$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), поэтому он является посторонним.

Таким образом, единственное решение уравнения — это $x = -7$.

Ответ: -7.