Номер 23.9, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.9, страница 192.

Условие.

23.9. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x - 1}{x + 1} + \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{x - 7}{x - 1} + 4; $

2) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 4} - \frac{2x + 6}{x + 2} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} - \frac{2x + 9}{x + 3}; $

3) $ \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 4}{x + 5} - \frac{x - 5}{x + 6}. $

Решение.

1) Исходное уравнение: $ \frac{2x - 1}{x + 1} + \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{x - 7}{x - 1} + 4 $
Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq -1 $, $ x \neq -2 $, $ x \neq 1 $.
Преобразуем каждое слагаемое, выделив целую часть:
$ \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1} $
$ \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2} $
$ \frac{x - 7}{x - 1} = \frac{(x - 1) - 6}{x - 1} = 1 - \frac{6}{x - 1} $
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$ (2 - \frac{3}{x + 1}) + (3 - \frac{7}{x + 2}) = (1 - \frac{6}{x - 1}) + 4 $
$ 5 - \frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = 5 - \frac{6}{x - 1} $
$ -\frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = -\frac{6}{x - 1} $
Умножим обе части на -1:
$ \frac{3}{x + 1} + \frac{7}{x + 2} = \frac{6}{x - 1} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$ \frac{3(x + 2) + 7(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{6}{x - 1} $
$ \frac{3x + 6 + 7x + 7}{x^2 + 3x + 2} = \frac{6}{x - 1} $
$ \frac{10x + 13}{x^2 + 3x + 2} = \frac{6}{x - 1} $
Используя свойство пропорции, получаем:
$ (10x + 13)(x - 1) = 6(x^2 + 3x + 2) $
$ 10x^2 - 10x + 13x - 13 = 6x^2 + 18x + 12 $
$ 10x^2 + 3x - 13 = 6x^2 + 18x + 12 $
$ 4x^2 - 15x - 25 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 225 + 400 = 625 = 25^2 $.
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{15 + 25}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5 $
$ x_2 = \frac{15 - 25}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5; -1.25$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 4} - \frac{2x + 6}{x + 2} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} - \frac{2x + 9}{x + 3} $
ОДЗ: $ x \neq -4, x \neq -3, x \neq -2, x \neq -1 $.
Преобразуем дроби, выделив в каждой целую часть:
$ \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 4} = \frac{x(x + 4) + 4}{x + 4} = x + \frac{4}{x + 4} $
$ \frac{2x + 6}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 2}{x + 2} = 2 + \frac{2}{x + 2} $
$ \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{x(x + 1) + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} $
$ \frac{2x + 9}{x + 3} = \frac{2(x + 3) + 3}{x + 3} = 2 + \frac{3}{x + 3} $
Подставим в уравнение:
$ (x + \frac{4}{x + 4}) - (2 + \frac{2}{x + 2}) = (x + \frac{1}{x + 1}) - (2 + \frac{3}{x + 3}) $
$ x + \frac{4}{x + 4} - 2 - \frac{2}{x + 2} = x + \frac{1}{x + 1} - 2 - \frac{3}{x + 3} $
Упростим, сократив одинаковые члены $x$ и $-2$ в обеих частях:
$ \frac{4}{x + 4} - \frac{2}{x + 2} = \frac{1}{x + 1} - \frac{3}{x + 3} $
Приведем к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:
$ \frac{4(x + 2) - 2(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} = \frac{1(x + 3) - 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} $
$ \frac{4x + 8 - 2x - 8}{x^2 + 6x + 8} = \frac{x + 3 - 3x - 3}{x^2 + 4x + 3} $
$ \frac{2x}{x^2 + 6x + 8} = \frac{-2x}{x^2 + 4x + 3} $
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$ \frac{2x}{x^2 + 6x + 8} + \frac{2x}{x^2 + 4x + 3} = 0 $
$ 2x \left( \frac{1}{x^2 + 6x + 8} + \frac{1}{x^2 + 4x + 3} \right) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $ 2x = 0 \implies x_1 = 0 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2) $ \frac{1}{x^2 + 6x + 8} + \frac{1}{x^2 + 4x + 3} = 0 $
$ \frac{(x^2 + 4x + 3) + (x^2 + 6x + 8)}{(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 4x + 3)} = 0 $
Числитель должен быть равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю):
$ 2x^2 + 10x + 11 = 0 $
$ D = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 100 - 88 = 12 $
$ x_{2,3} = \frac{-10 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{3}}{2} $
Корни $ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{3}}{2} $ и $ x_3 = \frac{-5 - \sqrt{3}}{2} $ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; \frac{-5 + \sqrt{3}}{2}; \frac{-5 - \sqrt{3}}{2}$.

3) Исходное уравнение: $ \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 4}{x + 5} - \frac{x - 5}{x + 6} $
ОДЗ: $ x \neq -2, x \neq -3, x \neq -5, x \neq -6 $.
Выделим целую часть в каждой дроби:
$ \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{x + 2 - 3}{x + 2} = 1 - \frac{3}{x + 2} $
$ \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x + 3 - 5}{x + 3} = 1 - \frac{5}{x + 3} $
$ \frac{x - 4}{x + 5} = \frac{x + 5 - 9}{x + 5} = 1 - \frac{9}{x + 5} $
$ \frac{x - 5}{x + 6} = \frac{x + 6 - 11}{x + 6} = 1 - \frac{11}{x + 6} $
Подставим в уравнение:
$ (1 - \frac{3}{x + 2}) - (1 - \frac{5}{x + 3}) = (1 - \frac{9}{x + 5}) - (1 - \frac{11}{x + 6}) $
$ 1 - \frac{3}{x + 2} - 1 + \frac{5}{x + 3} = 1 - \frac{9}{x + 5} - 1 + \frac{11}{x + 6} $
$ \frac{5}{x + 3} - \frac{3}{x + 2} = \frac{11}{x + 6} - \frac{9}{x + 5} $
Приведем к общему знаменателю дроби в каждой части:
$ \frac{5(x + 2) - 3(x + 3)}{(x + 3)(x + 2)} = \frac{11(x + 5) - 9(x + 6)}{(x + 6)(x + 5)} $
$ \frac{5x + 10 - 3x - 9}{x^2 + 5x + 6} = \frac{11x + 55 - 9x - 54}{x^2 + 11x + 30} $
$ \frac{2x + 1}{x^2 + 5x + 6} = \frac{2x + 1}{x^2 + 11x + 30} $
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(2x+1)$ за скобки:
$ \frac{2x + 1}{x^2 + 5x + 6} - \frac{2x + 1}{x^2 + 11x + 30} = 0 $
$ (2x + 1) \left( \frac{1}{x^2 + 5x + 6} - \frac{1}{x^2 + 11x + 30} \right) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $ 2x + 1 = 0 \implies x_1 = -0.5 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2) $ \frac{1}{x^2 + 5x + 6} - \frac{1}{x^2 + 11x + 30} = 0 $
$ \frac{1}{x^2 + 5x + 6} = \frac{1}{x^2 + 11x + 30} $
Отсюда следует, что знаменатели равны:
$ x^2 + 5x + 6 = x^2 + 11x + 30 $
$ 5x + 6 = 11x + 30 $
$ -24 = 6x $
$ x_2 = -4 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-4; -0.5$.