Номер 23.16, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.16, страница 193.

Условие.

23.16. Каким числом, рациональным или иррациональным, является значение выражения $\frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2} - \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2}$?

Решение.

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить данное выражение. Обозначим его за $A$.

$A = \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - 2} - \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} + 2}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей этих дробей:

$(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)$

Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, чтобы упростить знаменатель:

$(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

Теперь приведем всё выражение к общему знаменателю. Числитель первой дроби нужно домножить на $(\sqrt{6} + 2)$, а числитель второй — на $(\sqrt{6} - 2)$:

$A = \frac{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} + 2) - (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)} = \frac{(\sqrt{6} + 2)^2 - (\sqrt{6} - 2)^2}{2}$

Числитель полученной дроби также представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{6} + 2$ и $b = \sqrt{6} - 2$.

Упростим числитель по этой формуле:

$(\sqrt{6} + 2)^2 - (\sqrt{6} - 2)^2 = ((\sqrt{6} + 2) - (\sqrt{6} - 2))((\sqrt{6} + 2) + (\sqrt{6} - 2))$

Раскроем скобки внутри каждой из получившихся скобок:

$(\sqrt{6} + 2 - \sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} + 2 + \sqrt{6} - 2) = (4)(2\sqrt{6}) = 8\sqrt{6}$

Теперь подставим полученное значение числителя обратно в выражение для $A$:

$A = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}$

Мы получили число $4\sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6}$ является иррациональным числом (поскольку 6 не является полным квадратом), а $4$ — рациональным, их произведение также является иррациональным числом.

Ответ: иррациональным.