Номер 24.5, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.5, страница 201.

Условие.

24.5. Решите уравнение:

1) $x - \sqrt{x} - 12 = 0;$

2) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0;$

3) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0.$

Решение.

1) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует квадратный корень из $x$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Данное уравнение можно свести к квадратному, сделав замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$. Тогда $x$ можно выразить как $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение: $t^2 - t - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Найдем корни уравнения для $t$: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$. $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 0$). Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < 0$), поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 4$: $\sqrt{x} = 4$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 4^2$ $x = 16$

Полученное значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$), следовательно, является корнем исходного уравнения.

Ответ: 16

2) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$.

Перепишем уравнение для удобства: $x + 8\sqrt{x} + 7 = 0$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

После подстановки уравнение принимает вид: $t^2 + 8t + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.

Найдем корни для $t$: $t_1 = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-8 + 6}{2} = -1$. $t_2 = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-8 - 6}{2} = -7$.

Оба найденных значения для $t$ являются отрицательными, что противоречит условию замены $t \ge 0$. Это означает, что уравнение не имеет решений в действительных числах.

Также можно заметить, что при ОДЗ $x \ge 0$ все слагаемые в левой части уравнения $x + 8\sqrt{x} + 7$ являются неотрицательными, а слагаемое 7 — строго положительным. Сумма двух неотрицательных чисел ($x$ и $8\sqrt{x}$) и положительного числа (7) всегда будет положительной, то есть $x + 8\sqrt{x} + 7 \ge 7 > 0$. Следовательно, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Ответ: корней нет

3) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.

Произведем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим замену в исходное уравнение: $8t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4$.

Найдем корни для $t$: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 + 2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 - 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Оба корня, $t_1 = \frac{3}{4}$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, являются положительными и, следовательно, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$: 1. Если $\sqrt{x} = t_1 = \frac{3}{4}$, то, возведя в квадрат, получим $x_1 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$. 2. Если $\sqrt{x} = t_2 = \frac{1}{2}$, то, возведя в квадрат, получим $x_2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Оба найденных значения $x_1 = \frac{9}{16}$ и $x_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $\frac{1}{4}; \frac{9}{16}$