Номер 24.4, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.4, страница 201.

Условие.

24.4. Решите уравнение:

1) $$(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0;$$

2) $$(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0.$$

Решение.

1) $(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0;$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(3x - 1)$. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = (3x - 1)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 20t + 64 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Оба найденных значения для $t$ (4 и 16) удовлетворяют условию $t \ge 0$. Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.

Случай 1: $t = 4$

$(3x - 1)^2 = 4$

Это уравнение распадается на два линейных:

$3x - 1 = 2 \quad$ или $\quad 3x - 1 = -2$

$3x = 3 \quad$ или $\quad 3x = -1$

$x_1 = 1 \quad$ или $\quad x_2 = -\frac{1}{3}$

Случай 2: $t = 16$

$(3x - 1)^2 = 16$

Это уравнение также распадается на два линейных:

$3x - 1 = 4 \quad$ или $\quad 3x - 1 = -4$

$3x = 5 \quad$ или $\quad 3x = -3$

$x_3 = \frac{5}{3} \quad$ или $\quad x_4 = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; -\frac{1}{3}; 1; \frac{5}{3}.$

2) $(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0.$

Это уравнение также является биквадратным. Введем замену переменной. Пусть $y = (2x + 3)^2$. При этом должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 24y - 25 = 0$

Решим его. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$

Поскольку $\sqrt{676} = 26$, найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$

Теперь проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, следовательно, он является посторонним.

Корень $y_2 = 25$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Выполним обратную замену, используя только подходящий корень $y = 25$:

$(2x + 3)^2 = 25$

Это уравнение равносильно двум линейным уравнениям:

$2x + 3 = 5 \quad$ или $\quad 2x + 3 = -5$

$2x = 2 \quad$ или $\quad 2x = -8$

$x_1 = 1 \quad$ или $\quad x_2 = -4$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-4; 1.$