Номер 24.2, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.2, страница 200.

Условие.

24.2. Решите уравнение:

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$;

2) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0$;

3) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$;

4) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$.

Решение.

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 9t + 20 = 0$
Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Оба найденных значения для $t$ (4 и 5) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
2) Если $t = 5$, то $x^2 = 5$. Отсюда $x = \pm\sqrt{5}$, то есть $x_3 = \sqrt{5}$ и $x_4 = -\sqrt{5}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $\pm 2; \pm \sqrt{5}$.

2) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 + 3t - 70 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = -10$ не удовлетворяет условию, так как $x^2$ не может быть отрицательным. Этот корень является посторонним.
$t_2 = 7$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену для $t_2 = 7$:
$x^2 = 7$
$x = \pm\sqrt{7}$
Ответ: $\pm \sqrt{7}$.

3) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $9t^2 - 10t + 1 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
$t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$
Оба корня $t_1 = \frac{1}{9}$ и $t_2 = 1$ являются неотрицательными, поэтому оба подходят.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \frac{1}{3}$.
2) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm\sqrt{1} \Rightarrow x_{3,4} = \pm 1$.
Ответ: $\pm 1; \pm \frac{1}{3}$.

4) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$
Произведем замену переменной $t = x^2$, с условием $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Найдем дискриминант.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
Найдем корни для $t$.
$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 2$, неотрицательны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену.
1) $x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2) $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.
Ответ: $\pm \sqrt{2}; \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.